Question

8．已知在平面直角坐標(biāo)系中放置了5個如圖所示的正方形（用陰影表示），點B₁在y軸上且坐標(biāo)是（0，2），點C₁、E₁、E₂、C₂、E₃、E₄、C₃在x軸上，C₁的坐標(biāo)是（1，0），B₁C₁∥B₂C₂∥B₃C₃，以此繼續(xù)下去，則點A₂₀₁₅到x軸的距離是$\frac{3}{{2}^{2014}}$．

Answer 1

分析 根據(jù)勾股定理可得正方形A₁B₁C₁D₁的邊長為$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}=\sqrt{5}$，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得后面正方形的邊長依次是前面正方形邊長的$\frac{1}{2}$，依次得到第2015個正方形和第2015個正方形的邊長，進一步得到點A₂₀₁₅到x軸的距離．

解答 解：如圖，∵點C₁、E₁、E₂、C₂、E₃、E₄、C₃在x軸上，B₁C₁∥B₂C₂∥B₃C₃，
∴△B₁OC₁∽△B₂E₂C₂∽B₃E₄C₃…，△B₁OC₁≌△C₁E₁D₁，…，
∴B₂E₂=1，B₃E₄=$\frac{1}{2}$，B₄E₆=$\frac{1}{4}$，B₅E₈=$\frac{1}{8}$…，
∴B₂₀₁₅E₄₀₁₇=$\frac{1}{{2}^{2013}}$，

作A₁E⊥x軸，延長A₁D₁交x軸于F，
則△C₁D₁F∽△C₁D₁E₁，
∴$\frac{{D}_{1}F}{{D}_{1}{E}_{1}}=\frac{{C}_{1}{D}_{1}}{{C}_{1}{E}_{1}}$，
在Rt△OB₁C₁中，OB₁=2，OC₁=1，
正方形A₁B₁C₁D₁的邊長為$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}=\sqrt{5}$，
∴D₁F=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴A₁F=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$，
∵A₁E∥D₁E₁，
∴$\frac{{A}_{1}E}{{D}_{1}{E}_{1}}=\frac{{A}_{1}F}{{D}_{1}F}$，
∴A₁E=3，
∴$\frac{{A}_{1}E}{{B}_{1}O}=\frac{3}{2}$，
∴點A₂₀₁₅到x軸的距離是$\frac{1}{{2}^{2013}}×\frac{3}{2}=\frac{3}{{2}^{2014}}$，
故答案為$\frac{3}{{2}^{2014}}$

點評 此題主要考查了正方形的性質(zhì)以及解直角三角形的知識，得出正方形各邊長是解題關(guān)鍵．