Question

4．如圖1，∠MON=90°，點(diǎn)A、B分別在OM、ON上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)O重合）．
（1）若BC是∠ABN的平分線，BC的反方向延長(zhǎng)線與∠BAO的平分線交與點(diǎn)D．
①若∠BAO=60°，則∠D=45°．
②猜想：∠D的度數(shù)是否隨A，B的移動(dòng)發(fā)生變化？并說(shuō)明理由．
（2）若∠ABC=$\frac{1}{3}$∠ABN，∠BAD=$\frac{1}{3}$∠BAO，則∠D=30  °．
（3）若將“∠MON=90°”改為“∠MON=α（0°＜α＜180°）”，∠ABC=$\frac{1}{n}$∠ABN，∠BAD=$\frac{1}{n}$∠BAO，其余條件不變，則∠D=$\frac{α}{n}$°（用含α、n的代數(shù)式表示）

Answer 1

分析 （1）①先求出∠ABN=150°，再根據(jù)角平分線得出∠CBA=$\frac{1}{2}$∠ABN=75°、∠BAD=$\frac{1}{2}$∠BAO=30°，最后由外角性質(zhì)可得∠D度數(shù)；
②設(shè)∠BAD=α，利用外角性質(zhì)和角平分線性質(zhì)求得∠ABC=45°+α，利用∠D=∠ABC-∠BAD可得答案；
（2）設(shè)∠BAD=α，得∠BAO=3α，繼而求得∠ABN=90°+3α、∠ABC=30°+α，根據(jù)∠D=∠ABC-∠BAD可得答案；
（3）設(shè)∠BAD=β，分別求得∠BAO=nβ、∠ABN=∠AOB+∠BAO=α+nβ、∠ABC=$\frac{α}{n}$+β，由∠D=∠ABC-∠BAD得出答案．

解答 解：（1）①∵∠BAO=60°、∠MON=90°，
∴∠ABN=150°，
∵BC平分∠ABN、AD平分∠BAO，
∴∠CBA=$\frac{1}{2}$∠ABN=75°，∠BAD=$\frac{1}{2}$∠BAO=30°，
∴∠D=∠CBA-∠BAD=45°，
故答案為：45；

②∠D的度數(shù)不變．理由是：
設(shè)∠BAD=α，
∵AD平分∠BAO，
∴∠BAO=2α，
∵∠AOB=90°，
∴∠ABN=∠AOB+∠BAO=90°+2α，
∵BC平分∠ABN，
∴∠ABC=45°+α，
∴∠D=∠ABC-∠BAD=45°+α-α=45°；

（2）設(shè)∠BAD=α，
∵∠BAD=$\frac{1}{3}$∠BAO，
∴∠BAO=3α，
∵∠AOB=90°，
∴∠ABN=∠AOB+∠BAO=90°+3α，
∵∠ABC=$\frac{1}{3}$∠ABN，
∴∠ABC=30°+α，
∴∠D=∠ABC-∠BAD=30°+α-α=30°，
故答案為：30；

（3）設(shè)∠BAD=β，
∵∠BAD=$\frac{1}{n}$∠BAO，
∴∠BAO=nβ，
∵∠AOB=α°，
∴∠ABN=∠AOB+∠BAO=α+nβ，
∵∠ABC=$\frac{1}{n}$∠ABN，
∴∠ABC=$\frac{α}{n}$+β，
∴∠D=∠ABC-∠BAD=$\frac{α}{n}$+β-β=$\frac{α}{n}$，
故答案為：$\frac{α}{n}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查角平分線和外角的性質(zhì)，熟練掌握三角形的外角性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．