Question

16．如圖在平面直角坐標系中，點A（-2，4）在直線y=-x+b上，點E是直線y=-x+b與y軸的交點．
（1）求點E的坐標；
（2）若矩形AOBC的頂點C恰好在y軸上，求點C和點B的坐標；
（3）若點P是直線AE上的一個動點，在坐標平面內是否存在點Q，使以O、E、P、Q為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數法求出直線AE的解析式，進而得出點E的坐標；
（2）根據矩形的性質，即可得出結論；
（3）分OE是菱形的邊和對角線，利用菱形的性質即可得出結論．

解答 解：∵點A（-2，4）在直線y=-x+b上，
∴4=2+b，
∴b=2，
∴直線AE的解析式為y=-x+2，
∴E（0，2）；

（2）∵A（-2，4），∴直線OA的解析式為y=-2x
∵四邊形OACB是矩形，
∴AC⊥OA，
∴直線AC的解析式為y=$\frac{1}{2}$x+5，
∴C（0，5），同理：B（2，1）；

（3）存在，理由：
∵E（0，2），
∴OE=2，
∵以O、E、P、Q為頂點的四邊形是菱形，
∴①當OE為菱形的邊時，PQ∥OE，PQ=OE=2，PE=2，
設P（m，-m+2），
∵E（0，2），
∴PE=$\sqrt{{m}^{2}+（-m+2-2）^{2}}$=$\sqrt{2}$|m|=2，
∴m=±$\sqrt{2}$，
∴P（-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$+2）或（$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$+2），
∴Q（-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$）或（$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$），
②當OE是菱形對角線時，點P，Q在OE的垂直平分線上，
∴點P，Q的縱坐標都為1，
∵P在直線AE上，
∴P（1，1），
∴Q（-1，1），
即：符合題意的點Q（-1，1）、（-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$）或（$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$）．

點評 此題是一次函數綜合題，主要考查了菱形的性質，待定系數法，矩形的性質，解（1）的關鍵是利用待定系數法求出直線AE的解析式式，解（2）的關鍵是利用矩形的性質得出矩形的對邊平行，鄰邊垂直，解（3）的關鍵是分OE是菱形的邊和對角線兩種情況討論計算．