Question

12．如圖所示，在?ABCD中，AB=2BC，點M是DC的中點，BE⊥AD，E是垂足，求證：∠EMC=3∠DEM．

Answer 1

分析 延長EM交BC的延長線于F，連接BM，根據(jù)已知條件證得△DEM≌△CFM，得到EM=FM，由于AD∥BC，BE⊥AD，于是得到△EBF是直角三角形，BM為斜邊的中線，得到MF=BM，推出∠F=∠MBC，根據(jù)已知條件AB=2BC，AB=CD=$\frac{1}{2}$CM，得到∠MBC=∠CMB，根據(jù)外角的性質(zhì)得到∠MCF=∠MBC+∠CMB=2∠F．于是得到∠EMC=∠F+∠MCF=3∠F=3∠DEM．

解答 證明：延長EM交BC的延長線于F，連接BM，
在?ABCD中，
∵AD∥BC，
∴∠DEM=∠F，
在△DEM與△CFM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DME=∠CMF}\\{∠DEM=∠F}\\{DM=CM}\end{array}\right.$，
∴△DEM≌△CFM，
∴EM=FM，
∵AD∥BC，BE⊥AD，
∴BE⊥BC，
∴△EBF是直角三角形，BM為斜邊的中線，
∴MF=BM，
∴∠F=∠MBC，
∵AB=2BC，AB=CD=$\frac{1}{2}$CM，
∴∠MBC=∠CMB，
則∠MCF=∠MBC+∠CMB=2∠F．
∴∠EMC=∠F+∠MCF=3∠F=3∠DEM．

點評 本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)以及直角三角形斜邊中線問題，正確的做出輔助線是解題的關(guān)鍵．