Question

7．如圖，將邊長為3$\sqrt{3}$+3的等邊△ABC折疊，折痕為DE，點(diǎn)B與點(diǎn)F重合，EF和DF分別交AC于點(diǎn)M、N，DF⊥AB，垂足為D，AD=$\sqrt{3}$，則重疊部分的面積為$\frac{27+9\sqrt{3}}{4}$．

Answer 1

分析 觀察圖形可知重疊部分的面積即是△DEF的面積減去△MNF的面積．由折疊的性質(zhì)，可求得∠BDE=∠EDF=45°，由四邊形的內(nèi)角和為360°，求得∠BEF為150°，得到∠CEM為30°，則可證得∠EMC為90°；作△BDE的高，根據(jù)45°與60°的三角函數(shù)，借助于方程即可求得其高的值，則各三角形的面積可解．

解答 解：過點(diǎn)E作EG⊥AB于G，
∴∠EGB=90°，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=AC=3$\sqrt{3}$+3，
根據(jù)題意得：∠BDE=∠FDE，∠F=∠B=60°，
∵DF⊥AB，
∴∠FDB=90°，
∴∠BEF=360°-∠B-∠F-∠BDF=150°，∠BDE=∠FDE=$\frac{1}{2}$∠FDB=45°
∴∠MEC=180°-∠BEF=30°，
∴∠EMC=180°-∠C-∠EMC=90°，
在Rt△ADN中，AD=$\sqrt{3}$，tan∠A=tan60°=$\frac{DN}{AD}$=$\sqrt{3}$，
∴DN=3，
∴S_△ADN=$\frac{1}{2}$AD•DN=$\frac{1}{2}$×3×$\sqrt{3}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
在△BDE中，DB=AB-AD=3$\sqrt{3}$+3-$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$+3，
∵∠EDG=45°，
∴∠DEG=45°，
∴DG=EG，
∵tan∠B=tan60°=$\frac{EG}{BG}$=$\sqrt{3}$，
設(shè)EG=x，則DG=x，BG=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，
∴x+$\frac{\sqrt{3}}{3}$x=3$\sqrt{3}$+3-$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$+3，
解得：x=$\frac{3\sqrt{3}+3}{2}$，
∴EG=DG=$\frac{3\sqrt{3}+3}{2}$，
∴S_△BDE=$\frac{1}{2}$BD•EG=$\frac{1}{2}$×（2$\sqrt{3}$+3）×$\frac{3\sqrt{3}+3}{2}$=$\frac{27+15\sqrt{3}}{4}$，
∵∠B=∠C=∠F=60°，
∴BE=$\frac{EG}{sin60°}$=3$+\sqrt{3}$，
∴EC=BC-BE=2$\sqrt{3}$，
∵∠BED=∠FED=180°-∠B-∠BDE=75°，
∴∠FNM=∠MEC=30°，
∴∠FMN=∠EMC=90°，
∴EM=EC•cos30°=2$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3，
∴FM=EF-EM=BE-EM=$\sqrt{3}$，
∴MN=FM•tan60°=3，
∴S_{四邊形MNDE}=S_△DEF-S_△MNF=S_△BDE-S_△MNF=$\frac{27+15\sqrt{3}}{4}$-$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$×3=$\frac{27+9\sqrt{3}}{4}$．
故答案為：$\frac{27+9\sqrt{3}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了翻折變換（折疊問題），等邊三角形的性質(zhì)．關(guān)鍵是由已知推出特殊三角形，解直角三角形，由折疊的性質(zhì)將線段進(jìn)行轉(zhuǎn)化．