Question

17．如圖，E、F分別是?ABCD的一組對(duì)邊AD、BC的中點(diǎn)，連接AF、BE相交于點(diǎn)G，EC、DF交于點(diǎn)H
（1）求證：①四邊形EGFH是平行四邊形；②GH=$\frac{1}{2}$BC；
（2）若將“E、F是AD、BC的中點(diǎn)”改為“AE=BF”，其他條件不變，畫(huà)出相應(yīng)圖形，并解析出（1）中的兩個(gè)結(jié)論是否還成立？不用證明．

Answer 1

分析 （1）①可分別證明四邊形AFCE是平行四邊形，四邊形BFDE是平行四邊形，從而得出GF∥EH，GE∥FH，即可證明四邊形EGFH是平行四邊形；
②根據(jù)已知條件得到AE=$\frac{1}{2}$AD，BF=$\frac{1}{2}$BC，于是得到AE=BF，由AE∥BF，得到四邊形ABFE是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到EG=BG，同理EH=CH，根據(jù)三角形的中位線定理得到結(jié)論；
（2）根據(jù)已知條件證得四邊形ABFE是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到EG=BG，同理EH=CH，根據(jù)三角形的中位線定理得到②成立；不能證明四邊形AFCE不是平行四邊形，四邊形不是BFDE是平行四邊形，從而得出GF不平行EH，GE不平行FH，于是得到四邊形EGFH不是平行四邊形，①不成立．

解答 （1）證明：①∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，AD=BC．
∵AE=$\frac{1}{2}$AD，F(xiàn)C=$\frac{1}{2}$BC，
∴AE∥FC，AE=FC．
∴四邊形AECF是平行四邊形．
∴GF∥EH．
同理可證：ED∥BF且ED=BF．
∴四邊形BFDE是平行四邊形．
∴GE∥FH．
∴四邊形EGFH是平行四邊形；
②∵AE=$\frac{1}{2}$AD，BF=$\frac{1}{2}$BC，
∴AE=BF，∵AE∥BF，
∴四邊形ABFE是平行四邊形，
∴EG=BG，
同理EH=CH，
∴GH=$\frac{1}{2}$BC；

（2）如圖，由四邊形ABCD是平行四邊形，
得到AD∥BC，AD=BC．
因?yàn)锳E=BF，所以DE=CF，
由于AE∥BF，DE∥CF，
于是得到四邊形ABFE是平行四邊形．
四邊形EFCD是平行四邊形，于是得到EG=BG，EH=CH，
所以GH=$\frac{1}{2}$BC，
由于AE≠CF，
所以四邊形AFCE不是平行四邊形，
所以GF不平行EH，
同理EG不平行FH，
所以四邊形EGFH 不是平行四邊形，
所以（1）中的①不成立，②成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，證明四邊形AECF和BFDE是平行四邊形是關(guān)鍵．