Question

5．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，從左向右依次作正方形CNDM，正方形MKEH，正方形HPFG．已知正方形CNDM的邊長(zhǎng)為10，正方形MKEH的邊長(zhǎng)為8．
（1）求正方形HPFG的邊長(zhǎng)；
（2）寫出第四個(gè)正方形的邊長(zhǎng)，從第三個(gè)正方形起，第p個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是多少？直接寫出結(jié)果．

Answer 1

分析 （1）由條件可證明△DKE∽△EPF，再結(jié)合正方形的性質(zhì)，可分別表示出DK、PE，代入可求得PF，可得到答案；
（2）由已知條件DN=10=10×（$\frac{4}{5}$）⁰，KE=8=10×（$\frac{4}{5}$）¹，PF=$\frac{32}{5}$=10×（$\frac{4}{5}$）²，找到規(guī)律第n個(gè)正方形的邊長(zhǎng)=10×（$\frac{4}{5}$）^n-1，從而求解．

解答 解：∵四邊形NCMD、四邊形KMHE均為正方形，
∴∠DKE=∠DKE，KE∥PF，
∴∠DEK=∠EFP，
∴△DKE∽△EPF，
∴$\frac{DK}{PE}$=$\frac{KE}{PF}$，
又∵DK=10-8=2，KE=8，PE=8-PF，
∴$\frac{2}{8-PF}$=$\frac{8}{PF}$，
解得PF=$\frac{32}{5}$，
即正方形HGFP的邊長(zhǎng)為$\frac{32}{5}$；

（2）∵DN=10=10×（$\frac{4}{5}$）⁰，
KE=8=10×（$\frac{4}{5}$）¹，
PF=$\frac{32}{5}$=10×（$\frac{4}{5}$）²，
∴第四個(gè)正方形的邊長(zhǎng)=10×（$\frac{4}{5}$）³=$\frac{128}{25}$，
∴第n個(gè)正方形的邊長(zhǎng)=10×（$\frac{4}{5}$）^n-1，
∴從第三個(gè)正方形起，第p個(gè)正方形的邊長(zhǎng)=10×（$\frac{4}{5}$）^p+2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例找出后面正方形的邊長(zhǎng)與第一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)的關(guān)系．