Question

2．如圖，對(duì)稱軸為x=1的拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，0）．
（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)．
（2）已知a=1，C為拋物線與y軸的交點(diǎn)．
①若點(diǎn)P在拋物線上，且S_△POA=$\frac{4}{3}$S_△AOC，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
②設(shè)點(diǎn)Q是線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，作QD⊥x軸交拋物線于點(diǎn)D，求線段QD的長(zhǎng)度的最大值．

Answer 1

分析 （1）由拋物線y=ax²+bx+c的對(duì)稱軸為直線x=1，交x軸于A、B兩點(diǎn)，其中A點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1，0），根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性，即可求得B點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）①a=1時(shí)，先由對(duì)稱軸為直線x=1，求出b的值，再將B（3，0）代入，求出二次函數(shù)的解析式為y=x²-2x-3，得到C點(diǎn)坐標(biāo)，然后設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，x²-2x-3），根據(jù)S_△POA=$\frac{4}{3}$S_△AOC列出關(guān)于x的方程，解方程求出x的值，進(jìn)而得到點(diǎn)P的坐標(biāo)；
②先運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式為y=x-3，再設(shè)Q點(diǎn)坐標(biāo)為（x，x-3），則D點(diǎn)坐標(biāo)為（x，x²-2x-3），然后用含x的代數(shù)式表示QD，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出線段QD長(zhǎng)度的最大值．

解答 解：（1）∵對(duì)稱軸為直線x=1的拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，
∴A、B兩點(diǎn)關(guān)于直線x=1對(duì)稱，
∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，0），
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0）；
（2）①a=1時(shí)，∵拋物線y=x²+bx+c的對(duì)稱軸為直線x=1，
∴-$\frac{2}$=1，解得b=-2．
將B（3，0）代入y=x²-2x+c，
得9-6+c=0，解得c=-3．
則二次函數(shù)的解析式為y=x²-2x-3，
∴拋物線與y軸的交點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-3），OC=3．
設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，x²-2x-3），
∵S_△POA=$\frac{4}{3}$S_△AOC，
∴$\frac{1}{2}$×1×|x²-2x-3|=$\frac{4}{3}$×$\frac{1}{2}$×3×1，
∴|x²-2x-3|=4，x=±4．
當(dāng)x²-2x-3=-4時(shí)，x=1；
當(dāng)x²-2x-3=4時(shí)，x=1±2$\sqrt{2}$．
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，-4）或（1+2$\sqrt{2}$，4）或（1-2$\sqrt{2}$，4）；
②設(shè)直線BC的解析式為y=kx+t，將B（3，0），C（0，-3）代入得$\left\{\begin{array}{l}{3k+t=0}\\{t=-3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{t=-3}\end{array}\right.$．
即直線BC的解析式為y=x-3．
設(shè)Q點(diǎn)坐標(biāo)為（x，x-3）（0≤x≤3），則D點(diǎn)坐標(biāo)為（x，x²-2x-3），
QD=（x-3）-（x²-2x-3）=-x²+3x=-（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{9}{4}$，
∴當(dāng)x=$\frac{3}{2}$時(shí)，QD有最大值$\frac{9}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了二次函數(shù)綜合題的知識(shí)，涉及到待定系數(shù)法求二次函數(shù)、一次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)以及三角形面積、線段長(zhǎng)度問題等知識(shí)．解答本題的關(guān)鍵是用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)的解析式，此題難度適中，注重運(yùn)用方程思想與數(shù)形結(jié)合思想．