Question

14．如圖，已知AC∥BD，EA、EB分別平分∠CAB和∠DBA，CD過點(diǎn)E，求證：AB=AC+BD（要求：用兩種方法證明）：
①用割的方法；
②用補(bǔ)的方法．

Answer 1

分析 ①如圖（1）在AB上截取AF=AC，連結(jié)EF，可證明△ACE≌△AFE，進(jìn)一步可證明△EFB≌△EDB，再利用全等三角形的性質(zhì)結(jié)合線段的和差可證明結(jié)論；
②如圖（2），延長BE，與AC的延長線相交于點(diǎn)F，可證明△AEF≌△AEB，進(jìn)一步可證明△BED≌△FEC，再利用全等三角形的性質(zhì)結(jié)合線段的和差可證明結(jié)論．

解答 證明：
①如圖（1）在AB上截取AF=AC，連結(jié)EF，

在△ACE和△AFE中，
 $\left\{\begin{array}{l}{AC=AF}\\{∠1=∠2}\\{AE=AE}\end{array}\right.$ 
∴△ACE≌△AFE（SAS），
∴∠5=∠C，
∴AC∥BD，
∴∠C+∠D=180°，
∵∠5+∠6=180°，
∴∠6=∠D，
在△EFB和△BDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠6=∠D}\\{∠3=∠4}\\{BE=BE}\end{array}\right.$ 
∴△EFB≌△EDB（AAS），
∴FB=DB，
∴AC+BD=AF+FB=AB；
②如圖（2），延長BE，與AC的延長線相交于點(diǎn)F，

∵AC∥BD，
∴∠F=∠4，
∵∠3=∠4，
∴∠F=∠3
在△AEF和△AEB中
$\left\{\begin{array}{l}{∠F=∠3}\\{∠1=∠2}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△AEB（AAS），
∴AB=AF，BE=FE，
在△BED和△FEC中，
 $\left\{\begin{array}{l}{∠5=∠6}\\{BE=FE}\\{∠4=∠F}\end{array}\right.$，
∴△BED≌△FEC（ASA），
∴BD=FC，
∴AB=AF=AC+CF=AC+BD．

點(diǎn)評 本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和全等三角形的性質(zhì)（即全等三角形的對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊相等）是解題的關(guān)鍵．