Question

14．如圖1，點E為矩形ABCD的邊AD上一點，點P、點Q同時從點B出發(fā)，點P沿BE→ED→DC 運動到點C停止，點Q沿BC運動到點C停止，它們運動的速度都是1cm/s，設(shè)P、Q出發(fā)t秒時，△BPQ的面積為ycm²，已知y與t的函數(shù)關(guān)系如圖2（曲線OM為拋物線的一部分），則下列結(jié)論：
①AB=6cm；
②當(dāng)0＜t≤10時，y=$\frac{3}{10}$t²；
③NH所在直線的解析式為y=-5t+90；
④sin∠PBQ=$\frac{1}{2}$時，t=13秒．
其中錯誤的結(jié)論個數(shù)是（　�。�

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 根據(jù)圖（2）可以判斷三角形的面積變化分為三段，可以判斷出當(dāng)點P到達點E時點Q到達點C，從而得到BC、BE的長度，再根據(jù)M、N是從5秒到7秒，可得ED的長度，然后表示出AE的長度，根據(jù)勾股定理求出AB的長度，然后針對各小題分析解答即可．

解答 解：①根據(jù)圖（2）可得，當(dāng)點P到達點E時點Q到達點C，
∵點P、Q的運動的速度都是1cm/s，
∴BC=BE=10cm，S_△BCE=$\frac{1}{2}$BC•AB=30，
∴AB=6cm，故①正確；
①如圖1，過點P作PF⊥BC于點F，
根據(jù)面積不變時△BPQ的面積為10，可得AB=4，
∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠PBF，
∴sin∠PBF=sin∠AEB=$\frac{AB}{BE}=\frac{4}{5}$，
∴PF=PBsin∠PBF=$\frac{4}{5}$t，
∴當(dāng)0＜t≤5時，y=$\frac{1}{2}$BQ•PF=$\frac{1}{2}$t•$\frac{4}{5}$t=$\frac{2}{5}$t^2（故②正確）；
③根據(jù)10-12秒面積不變，可得ED=2，
當(dāng)點P運動到點C時，面積變?yōu)?，此時點P走過的路程為BE+ED+DC=18，
故點H的坐標為（18，0），
設(shè)直線NH的解析式為y=kx+b，
將點H（18，0），點N（12，30）代入可得：
$\left\{\begin{array}{l}{18k+b=0}\\{12k+b=30}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-5}\\{b=90}\end{array}\right.$．
故直線NH的解析式為：y=-5t+90，故③正確；
④如圖2所示，sin∠PBQ=$\frac{1}{2}$時，∠PBQ=30°，
tan∠PBQ=$\frac{PQ}{BC}$=$\frac{18-t}{10}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
解得t=$\frac{54-10\sqrt{3}}{3}$，故④錯誤；
綜上所述，錯誤的只有④，
故選：B．

點評 本題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用及動點問題的函數(shù)圖象，根據(jù)圖（2）判斷出點P到達點E時，點Q到達點C是解題的關(guān)鍵，也是本題的突破口，難度較大