Question

18．在平面直角坐標(biāo)系中，若A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則AB=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}}$
（1）點(diǎn)P（-2，7），Q（3，-5），求PQ的長(zhǎng)．
（2）利用兩點(diǎn)間距離公式求$\sqrt{{x}^{2}+4}$+$\sqrt{（3-x）^{2}+36}$+1的最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式即可得到結(jié)論；
（2）利用兩點(diǎn)間距離公式求$\sqrt{{x}^{2}+4}$+$\sqrt{（3-x）^{2}+36}$+1的最小值，本題可以化歸為：在x軸上找一點(diǎn)P（x，0），使其與兩定點(diǎn)A（0，2），B（3，6）的距離之和為最小，然后根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵P（-2，7），Q（3，-5），
∴PQ=$\sqrt{（-2-3）^{2}+（7+5）^{2}}$=13；
（2）如圖，利用兩點(diǎn)間距離公式求$\sqrt{{x}^{2}+4}$+$\sqrt{（3-x）^{2}+36}$+1的最小值，
本題可以化歸為：在x軸上找一點(diǎn)P（x，0），
使其與兩定點(diǎn)A（0，2），B（3，6）的距離之和為最小，
即$\sqrt{（x-0）^{2}+（0-2）^{2}}$+$\sqrt{（x-3）^{2}+（0-6）^{2}}$有最小值．
作A點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A'（0，-2），連接BA'，與x軸的交點(diǎn)即為所求的P點(diǎn)．
此時(shí)$\sqrt{{x}^{2}+4}$+$\sqrt{（3-x）^{2}+36}$有最小值，
其最小值=A′B=$\sqrt{（0-3）^{2}+（-2-6）^{2}}$=$\sqrt{73}$．
∴$\sqrt{{x}^{2}+4}$+$\sqrt{（3-x）^{2}+36}$+1的最小值=$\sqrt{73}$+1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了軸對(duì)稱(chēng)-最小距離問(wèn)題，兩點(diǎn)間的距離公式，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵．