Question

1．如圖，反比例函數(shù)y₁=$\frac{k}{x}$，（k＞0）與一次函數(shù)y₂=-x+5交于A（2，n）、B兩點(diǎn)（A點(diǎn)在B點(diǎn)左邊）
（1）求反比例函數(shù)y₁的解析式和B的坐標(biāo)；
（2）平移y₂的圖象，使得平移后的直線交反比例函數(shù)y₁的圖象于E、F兩點(diǎn)（E點(diǎn)在F點(diǎn)左邊），若EF=2AB，直接寫出點(diǎn)E的橫坐標(biāo)（-$\sqrt{7}$-1，-$\sqrt{7}$+1）或（$\sqrt{7}$-1，$\sqrt{7}$+1）．

Answer 1

分析 （1）由點(diǎn)A的橫坐標(biāo)結(jié)合一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可得出點(diǎn)A的坐標(biāo)，由點(diǎn)A的坐標(biāo)利用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可得出反比例函數(shù)y₁的解析式，再聯(lián)立兩函數(shù)解析式成方程組，解方程組即可求出點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）設(shè)平移后直線EF的解析式為y=-x+b，將其代入反比例函數(shù)解析式中即可得出關(guān)于x的一元二次方程，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可得出x_E+x_F=b、x_E•x_F=6，由EF∥AB結(jié)合EF=2AB，即可得出關(guān)于b的方程，解之即可得出b值，再利用求根公式即可求出點(diǎn)E的橫坐標(biāo)，結(jié)合反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可得出點(diǎn)E的坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵點(diǎn)A（2，n）在一次函數(shù)y₂=-x+5的圖象上，
∴n=-2+5=3，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，3）．
∵點(diǎn)A（2，3）在反比例函數(shù)y₁=$\frac{k}{x}$的圖象上，
∴k=2×3=6，
∴反比例函數(shù)y₁的解析式為y₁=$\frac{6}{x}$．
聯(lián)立兩函數(shù)解析式成方程組，
$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+5}\\{y=\frac{6}{x}}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=2}\end{array}\right.$，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，2）．
（2）設(shè)平移后直線EF的解析式為y=-x+b，
將y=-x+b代入y=$\frac{6}{x}$中，-x+b=$\frac{6}{x}$，
整理得：x²-bx+6=0，
∴x_E+x_F=b，x_E•x_F=6．
∵A（2，3），B（3，2），EF=2AB，E點(diǎn)在F點(diǎn)左邊，
∴x_F-x_E=$\sqrt{（{x}_{E}+{x}_{F}）^{2}-4{x}_{E}•{x}_{F}}$=$\sqrt{^{2}-4×6}$=2（x_B-x_A）=2，
解得：b=±2$\sqrt{7}$，
∴x_E=-$\sqrt{7}$-1或x_E=$\sqrt{7}$-1，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（-$\sqrt{7}$-1，-$\sqrt{7}$+1）或（$\sqrt{7}$-1，$\sqrt{7}$+1）．
故答案為：（-$\sqrt{7}$-1，-$\sqrt{7}$+1）或（$\sqrt{7}$-1，$\sqrt{7}$+1）．

點(diǎn)評 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題、反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、根與系數(shù)的關(guān)系以及利用公式法求一元二次方程的解，解題的關(guān)鍵是：（1）聯(lián)立兩函數(shù)解析式成方程組，通過解方程組求出點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合線段間的關(guān)系找出$\sqrt{^{2}-4×6}$=2．