Question

1．如圖，點(diǎn)P在⊙O的直徑AB的延長(zhǎng)線上，PEF是⊙O的割線，且AF=FE，$\frac{PB}{PE}=\frac{5}{6}$，△ABF的面積為96．
（1）求直徑AB．
（2）求sin∠P．

Answer 1

分析 （1）連接AE，作FH⊥AE于H，如圖1，利用圓周角定理得∠EFB=∠EAP，則可證明△PFB∽△PAE，利用相似比得$\frac{PB}{PE}$=$\frac{FB}{AE}$=$\frac{5}{6}$，設(shè)FB=5a，則AE=6a，再利用等腰三角形的性質(zhì)得AH=HE=$\frac{1}{2}$AE=3a，∠FAE=∠FEA，接著證明Rt△AFH∽R(shí)t△BAF得到$\frac{FH}{AF}$=$\frac{AH}{BF}$=$\frac{3a}{5a}$=$\frac{3}{5}$，設(shè)FH=3t，AF=5t，根據(jù)勾股定理得（3a）²+（3t）²=（5t）²，解得t=$\frac{3}{4}$a，所以AF=5t=$\frac{15}{4}$a，然后根據(jù)三角形面積公式可計(jì)算出a=$\frac{16}{5}$，所以AF=$\frac{15}{4}$a=12，BF=5a=16，原式利用勾股定理可計(jì)算出AB=20；
（2）作FC⊥AB于C，如圖2，利用面積法計(jì)算出FC=$\frac{48}{5}$，再根據(jù)切割線定理得PE•PF=PB•PA，所以$\frac{PB}{PE}$=$\frac{PF}{PA}$=$\frac{PE+12}{PB+20}$=$\frac{5}{6}$，則利用比例的性質(zhì)可求出PE=$\frac{168}{11}$，所以PF=EF+PE=$\frac{300}{11}$，然后在Rt△PFC中利用正弦的定義求解．

解答 解：（1）連接AE，作FH⊥AE于H，如圖1，
∵∠EFB=∠EAP，
∵∠P=∠P，
∴△PFB∽△PAE，
∴$\frac{PB}{PE}$=$\frac{FB}{AE}$=$\frac{5}{6}$，
設(shè)FB=5a，則AE=6a，
∵AF=EF，F(xiàn)H⊥AE，
∴AH=HE=$\frac{1}{2}$AE=3a，∠FAE=∠FEA，
∵∠ABF=∠FEA，
∴∠FAE=∠FBA，
∵AB為直徑，
∴∠AFB=90°，
∴Rt△AFH∽R(shí)t△BAF，
∴$\frac{FH}{AF}$=$\frac{AH}{BF}$=$\frac{3a}{5a}$=$\frac{3}{5}$，
設(shè)FH=3t，AF=5t，
在Rt△AHF中，（3a）²+（3t）²=（5t）²，解得t=$\frac{3}{4}$a，
∴AF=5t=$\frac{15}{4}$a，
∵△ABF的面積為96，
∴$\frac{1}{2}$•$\frac{15}{4}$a•5a=96，解得a=$\frac{16}{5}$，
∴AF=$\frac{15}{4}$a=12，BF=5a=16，
在Rt△ABF中，AB=$\sqrt{1{2}^{2}+1{6}^{2}}$=20；
（2）作FC⊥AB于C，如圖2，
∵$\frac{1}{2}$FC•AB=$\frac{1}{2}$AF•BF，
∴FC=$\frac{12×16}{20}$=$\frac{48}{5}$，
∵PE•PF=PB•PA，
∴$\frac{PB}{PE}$=$\frac{PF}{PA}$=$\frac{PE+12}{PB+20}$=$\frac{5}{6}$，
∴PE=$\frac{168}{11}$，
∴PF=EF+PE=12+$\frac{168}{11}$=$\frac{300}{11}$，
在Rt△PFC中，sin∠P=$\frac{FC}{PF}$=$\frac{\frac{48}{5}}{\frac{300}{11}}$=$\frac{44}{125}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓的綜合題：熟練掌握?qǐng)A周角定理和切割線定理；會(huì)運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)計(jì)算線段的長(zhǎng)和求線段之間的關(guān)系；會(huì)利用勾股定理和三角形面積公式計(jì)算．