Question

3．在菱形ABCD中，∠BAD=60°，AB=1，此時稱為圖形L（1），連接圖形L（1）的各邊中點，得圖形J（1），再連接圖形J（1）各邊中點得圖形L（2），在連接圖形L（2）各邊中點得圖形J（2），以此類推…，則圖形L（n）的邊長與圖形J（n）的寬的和是$\frac{3}{{2}^{n}}$．

Answer 1

分析 連接BD，由菱形的性質(zhì)得出AB=AD，證明△ABD是等邊三角形，得出BD=AB=1，證明EH是△ABD的中位線，得出EH=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{1}{2}$，得出AB+EH=$\frac{3}{2}$，同理：MN=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$，RT=$\frac{1}{4}$，得出MN+RT=$\frac{3}{{2}^{2}}$，…，得出規(guī)律：圖形L（n）的邊長與圖形J（n）的寬的和=$\frac{1}{{2}^{n-1}}$+$\frac{1}{{2}^{n}}$=$\frac{3}{{2}^{n}}$．

解答 解：連接BD，如圖所示：
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=AD，
∵∠BAD=60°，
∴△ABD是等邊三角形，
∴BD=AB=1，
∵E、H分別是AB、AD的中點，
∴EH是△ABD的中位線，
∴EH=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{1}{2}$，
∴AB+EH=1+$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，
同理：MN=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$，RT=$\frac{1}{4}$，
∴MN+RT=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$=$\frac{3}{4}$=$\frac{3}{{2}^{2}}$，…，
圖形L（n）的邊長與圖形J（n）的寬的和=$\frac{1}{{2}^{n-1}}$+$\frac{1}{{2}^{n}}$=$\frac{3}{{2}^{n}}$；
故答案為：$\frac{3}{{2}^{n}}$．

點評 本題考查了菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理；熟練掌握菱形的性質(zhì)，根據(jù)題意得出規(guī)律是解決問題的關鍵．