Question

2．如圖，P是等邊三角形ABC外一點(diǎn)，PA=3，PB=4，PC=5，求∠BPA的度數(shù)．

Answer 1

分析 將△PAC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得△BDC，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得BD=AP=4，CD=PC=5，∠PCD=60°，∠DBC=∠PAC，則△PCD為等邊三角形，得到PD=PC=5，在△AEP中，根據(jù)勾股定理的逆定理可得到△PBD為直角三角形，然后根據(jù)四邊形的內(nèi)角和即可得到結(jié)論．

解答 解：∵△ABC為等邊三角形，
∴BA=BC，∠ACB=60°，
可將△APC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得△BCD，
連PD，如圖，
∴BD=AP=4，CD=PC=5，∠PCD=60°，∠DBC=∠PAC，
∴△PCD為等邊三角形，
∴PD=PC=5，
在△PBD中，PC=5，BD=3，PB=4，
∴PD²=PB²+PA²，
∴△PBD為直角三角形，且∠PBD=90°，
∴∠PBC+∠CBD=∠PBC+∠PAC=360°-∠PBD=270°，
∴∠APB=360°-270°-60°=30°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后的兩個(gè)圖形全等，對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等．也考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理的逆定理．