Question

14．如圖1，已知等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CD是斜邊AB的中線，過(guò)D點(diǎn)作DE⊥DF分別交AC于E，交BC于F，∠FEC的角平分線EP交直線CD于P．
（1）①DE與DP的數(shù)量關(guān)系是DE=DP．
 ②設(shè)PC=x，EF=y，BC=2$\sqrt{2}$，求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．
（2）如圖2，當(dāng)∠EDF繞D點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度，使E、F分別在CA、BC的延長(zhǎng)線上，請(qǐng)完成圖形并判斷（1）中的結(jié)論①、②是否分別成立？若不成立，寫(xiě)出相應(yīng)的結(jié)論（所寫(xiě)結(jié)論均不必證明）．

Answer 1

分析 （1）①由ASA證明△CDE≌△BDF，得出DE=DF，即△DEF是等腰直角三角形，得出∠DEF=∠DFE=45°，結(jié)合三角形的外角性質(zhì)證出∠DEP=∠DPE，即可得出結(jié)論；
②由等腰直角三角形的性質(zhì)和勾股定理得出AB=$\sqrt{2}$BC=4，CD=$\frac{1}{2}$AB=2，DE=DP=CD-PC=2-x，EF=$\sqrt{2}$DE，即可得出結(jié)果；
（2）作出圖形，同（1）即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）①DE與DP的數(shù)量關(guān)系是：DE=DP，理由如下：
∵∠ACB=90°，△ABC為等腰直角三角形，
∴AC=BC，∠DBF=45°，
∵CD是斜邊AB的中線，
∴CD⊥AB，∠DCE=45°，CD=BD=AD，
∴∠DCE=∠DBF=45°，∠BDC=90°，
∵DE⊥DF，
∴∠EDF=90°，
∴∠CDE=∠BDF，
在△CDE和△BDF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DCE=∠DBF}\\{CD=BD}\\{∠CDE=∠BDF}\end{array}\right.$，
∴△CDE≌△BDF（ASA），
∴DE=DF，即△DEF是等腰直角三角形，
∴∠DEF=∠DFE=45°，
∵PE平分∠CEF，
∴∠CEP=∠FEP，
∵∠DEP=∠DEF+∠FEP=45°+∠FEP，
∠DPE=∠DCE+∠CEP=45°+∠CEP，
∴∠DEP=∠DPE，
∴DE=DP；
②∵△ABC為等腰直角三角形，CD是斜邊AB的中線，BC=2$\sqrt{2}$，
∴AB=$\sqrt{2}$BC=4，CD=$\frac{1}{2}$AB=2，
∵PC=x，
∴DE=DP=CD-PC=2-x，
∵△DEF是等腰直角三角形，
∴EF=$\sqrt{2}$DE，即y=$\sqrt{2}$（2-x），
∴y=-$\sqrt{2}$x+2$\sqrt{2}$；
（2）（1）中的結(jié)論①成立、②不成立，y=$\sqrt{2}$x+2$\sqrt{2}$；理由如下：
如圖②所示：同（1）①得：△DEF是等腰直角三角形，
∠DEP=∠DEF-∠FEP=45°-∠FEP，∠DPE=∠DCE-∠CEP=45°-∠CEP，
∵PE平分∠CEF，
∴∠CEP=∠FEP，
∴∠DEP=∠DPE，
∴DE=DP；
∵PC=x，
∴DE=DP=CD+PC=2+x，
∵△DEF是等腰直角三角形，
∴EF=$\sqrt{2}$DE，即y=$\sqrt{2}$（2+x），
∴y=$\sqrt{2}$x+2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是三角形綜合題目，考查了等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、三角形的外角性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．