Question

7．已知：如圖，∠1=∠2，P為BN上的一點，PF⊥BC于F，PA=PC，
（1）求證：∠PCB+∠BAP=180°；
（2）線段BF、線段BC、線段AB之間有何數(shù)量關(guān)系？寫出你的猜想及證明思路．

Answer 1

分析 （1）過P點作PE⊥BA于點E，由∠1=∠2利用角平分線的性質(zhì)即可得出PE=PF，結(jié)合PA=PC即可利用全等三角形的判定定理HL證出Rt△PAE≌Rt△PCF，由此可得出∠PCF=∠PAE，再根據(jù)鄰補角互補可得出∠PAE+∠BAP=180°，將∠PAE替換成∠PCB即可證出結(jié)論；
（2）由Rt△PAE≌Rt△PCF可得出AE=CF，結(jié)合PB=PB即可證出Rt△PBE≌Rt△PBF，進而得出BE=BF，再根據(jù)邊與邊之間的關(guān)系即可得出2BF=AB+AC．

解答 （1）證明：過P點作PE⊥BA于點E，如圖所示．
∵∠1=∠2，PF⊥BC，
∴PE=PF．
在Rt△PAE與Rt△PCF中，$\left\{\begin{array}{l}{PA=PC}\\{PE=PF}\end{array}\right.$，
∴Rt△PAE≌Rt△PCF（HL），
∴∠PCF=∠PAE．
∵∠PAE+∠BAP=180°，
∴∠PCB+∠BAP=180°．
（2）解：2BF=AB+BC．
證明：∵Rt△PAE≌Rt△PCF，
∴AE=CF．
在Rt△PBE和Rt△PBF中，$\left\{\begin{array}{l}{PB=PB}\\{PE=PF}\end{array}\right.$，
∴Rt△PBE≌Rt△PBF（HL），
∴BE=BF．
∴2BF=BE+BF=AB+AE+BF=AB+FC+BF=AB+AC．

點評 本題考查了全等三角形的判定于性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)以及鄰補角，解題的關(guān)鍵是：（1）利用HL證明Rt△PAE≌Rt△PCF；（2）利用HL證明Rt△PBE≌Rt△PBF．