Question

9．已知：如圖1，在△ABC中，已知AB=AC=6，BC=4，以點(diǎn)B為圓心所作的⊙B與線段AB、BC都有交點(diǎn)，設(shè)⊙B的半徑為x．
（1）若⊙B與AB的交點(diǎn)為D，直線CD與⊙B相切，求x的值；
（2）如圖2，以AC為直徑作⊙P，那么⊙B與⊙P存在哪些位置關(guān)系？并求出相應(yīng)x的取值范圍；
（3）若以AC為直徑的⊙P與⊙B的交點(diǎn)E在線段BC上（點(diǎn)E不與C點(diǎn)重合），求兩圓公共弦EF的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）作AH⊥BC于點(diǎn)H，根據(jù)直線CD與⊙B相切，得到CD⊥AB，從而得到cos∠DBC=cos∠ACH，利用余弦的定義得到BD：BC=CH：CA，從而得到BD：4=2：6，求得BD的長(zhǎng)即可求得圓的半徑；
（2）作PK⊥BC于點(diǎn)K，求得兩圓的圓心距，然后根據(jù)兩圓的半徑和圓心距的大小關(guān)系得到位置關(guān)系即可；
（3）設(shè)EF與PB交于點(diǎn)G，BG=m，在△PBE中，PE²-PG²=BE²-BG²求得m的值，然后根據(jù)EG²-BG²=BE²求得EG的長(zhǎng)即可求得EF的長(zhǎng)．

解答 解：（1）如圖1，作AH⊥BC于點(diǎn)H，
∵AB=AC=6，BC=4，
∴BH=2．
∵直線CD與⊙B相切，
∴CD⊥AB，
∵∠DBC=∠ACH，
∴cos∠DBC=cos∠ACH，
∴BD：BC=CH：CA，
∴BD：4=2：6，
∴BD=$\frac{4}{3}$．
 
（2）如圖1，作PK⊥BC于點(diǎn)K，
∴PK∥AH．
∵AH⊥BC，AB=AC=6，BC=4，
∴BH=2，
∴AH=4$\sqrt{2}$．
∵以AC為直徑作⊙P，
∴AP=PC，
∴PK=2$\sqrt{2}$，CK=$\frac{1}{4}$BC=1，
∴BK=3，
∴在Rt△PBK中，PB=$\sqrt{P{K}^{2}+B{K}^{2}}$=$\sqrt{（2\sqrt{2}）^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{17}$，
∴當(dāng)0＜x＜$\sqrt{17}$-3時(shí)，⊙B與⊙P外離，當(dāng)x=$\sqrt{17}$-3時(shí)，⊙B與⊙P外切，
當(dāng)$\sqrt{17}$-3＜x≤4時(shí)，⊙B與⊙P相交；
  
（3）如圖2，點(diǎn)E即為BC邊的中點(diǎn)H，
∴PE=3．
設(shè)EF與PB交于點(diǎn)G，BG=m，
∴在△PBE中，PE²-PG²=BE²-BG²，
∴3²-（$\sqrt{17}$-m）²=2²-m²，
∴m=$\frac{6}{17}\sqrt{17}$．
∵EG²-BG²=BE²，
∴EG²-（$\frac{6}{17}\sqrt{17}$ ）²=2²，
∴EG=$\frac{4}{17}$$\sqrt{34}$，
∴EF=$\frac{8}{17}$$\sqrt{34}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓的綜合知識(shí)，題目中還涉及到了勾股定理、兩圓的位置關(guān)系等知識(shí)，知識(shí)點(diǎn)較多，難度較大，特別是最后一題中兩次運(yùn)用勾股定理求得EG的長(zhǎng)更是解決本題的關(guān)鍵．