Question

19．如圖，在平面直角坐標系的第一象限內(nèi)有一點p（x，y），點P到原點的距離OP=r，且PO與x軸的正半軸成α角．
（1）用x，y，r表示角α的正弦和余弦；
（2）求sin²α+cos²α的值，通過計算你有何發(fā)觀？
（3）用x，y，r表示角90°-α的正弦和余弦，并與角α的正弦和余弦作比較．你又有何發(fā)觀？

Answer 1

分析 （1）作PH⊥x軸于H，如圖，由P點坐標得OH=x，PH=y，然后在Rt△OPH，利用正弦和余弦的定義易得sinα=$\frac{y}{r}$，cosα=$\frac{x}{r}$；
（2）由于sin²α+cos²α=$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}}{{r}^{2}}$，利用勾股定理得到x²+y²=r²，所以sin²α+cos²α=1，于是可判斷一個銳角的正弦和余弦的平方和等于1；
（3）利用正弦與余弦的定義易得cos（90°-α）=$\frac{y}{r}$，sin（90°-α）=$\frac{x}{r}$，即sinα=cos（90°-α），cosα=sin（90°-α）．

解答 解：（1）作PH⊥x軸于H，如圖，
∵P點坐標為（x，y），
∴OH=x，PH=y，
在Rt△OPH，sin∠POH=$\frac{y}{r}$，cos∠POH=$\frac{x}{r}$，
即sinα=$\frac{y}{r}$，cosα=$\frac{x}{r}$；
（2）sin²α+cos²α=（$\frac{y}{r}$）²+（$\frac{x}{r}$）²=$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}}{{r}^{2}}$，
而OH²+PH²=OP²，即x²+y²=r²，
∴sin²α+cos²α=1，
即一個銳角的正弦和余弦的平方和等于1；
（3）在Rt△OPH，cos∠OPH=$\frac{y}{r}$，sin∠OPH=$\frac{x}{r}$，
即cos（90°-α）=$\frac{y}{r}$，sin（90°-α）=$\frac{x}{r}$，
∴sinα=cos（90°-α），cosα=sin（90°-α）．

點評 本題考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的過程就是解直角三角形．解決本題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用勾股定理和銳角三角函數(shù)的定義．