Question

10．如圖，在Rt△ABC，∠C=90°，點(diǎn)O在斜邊AB上，以O(shè)為圓心，OA為半徑的⊙O與直角邊BC相切于點(diǎn)D．
（1）求證：AD平分∠BAC；
（2）若CD=3，BD=5，求AC的長；
（3）如圖，若直線BC向上平移后交⊙O于點(diǎn)D．E，⊙O交AB于點(diǎn)F，求證：∠CAD=∠BAE．

Answer 1

分析 （1）連接OD．由切線的性質(zhì)可知：OD⊥BC，從而可得到DO∥AC，由平行線的性質(zhì)可知∠ODA=∠DAC，然后由∠ODA=∠OAD可得到∠OAD=∠DAC，故此AD平分∠BAC；
（2）過點(diǎn)D作DE⊥AB，垂足為E．由角平分線的性質(zhì)可知DE=DC=3，然后利用HL可證明Rt△AED≌Rt△ACD，從而可知AE=AC，在Rt△BDE中，由勾股定理可知BE=4，設(shè)AC=AE=x，則AB=4+x，在Rt△ABC中由勾股定理得（x+4）²=x²+8²，解得x=6，從而得到AC=6；
（3）如圖3所示，連接EF．由直角所對(duì)的圓周等于90度可得到∠FEA=∠C，由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可知∠AFE=∠ADE，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可知∠CAD=∠FAE．

解答 解：（1）連接OD．

∵BC是圓O的切線，
∴OD⊥BC．
∵∠AC⊥BC，
∴DO∥AC．
∴∠ODA=∠DAC．
∵OD=OA，
∴∠ODA=∠OAD．
∴∠OAD=∠DAC．
∴AD平分∠BAC．
（2）過點(diǎn)D作DE⊥AB，垂足為E．

∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴DE=DC=3．
在Rt△AED和Rt△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l}{ED=DC}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴Rt△AED≌Rt△ACD．
∴AE=AC．
在Rt△BDE中，BE=$\sqrt{B{D}^{2}-D{E}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4．
設(shè)AC=AE=x，則AB=4+x．
在Rt△ABC中，AB²=AC²+CB²，即（x+4）²=x²+8²．
解得：x=6．
∴AC=6．
（3）如圖3所示，連接EF．

∵AF是圓O的直徑，
∴∠FEA=90°．
∴∠FEA=∠C．
∵四邊形FEDA是圓內(nèi)接四邊形，
∴∠AFE=∠ADE．
∴∠CAD=∠FAE．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是切線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定、勾股定理的應(yīng)用，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理的應(yīng)用，掌握本題的輔助線的作法是解題的關(guān)鍵．