Question

7．如圖，已知正方形ABCD，點E在BC上，BE=2EC，點F在CD上，∠EAF=30°，求$\frac{CF}{DF}$．

Answer 1

分析 延長AF，與BC的延長線交于點G． 由已知條件BE：EC=2：1，得到BE：BC=2：3，即BE：AB=2：3 根據(jù)三角函數(shù)的定義得到tan∠BAE=$\frac{2}{3}$，tan∠GAE=tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，于是得到tan∠GAB=tan（∠BAE+∠GAE）=$\frac{tan∠BAE+tan∠GAE}{1-tan∠BAE•tan∠GAE}$=$\frac{24+13\sqrt{3}}{23}$，證得BG：AB=$\frac{24+13\sqrt{3}}{23}$，于是得到結(jié)論．

解答 解：如圖，延長AF，與BC的延長線交于點G．

∵BE=2EC，
∴BE：EC=2：1，
∴BE：BC=2：3，即BE：AB=2：3，
∴tan∠BAE=$\frac{2}{3}$，tan∠GAE=tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴tan∠GAB=tan（∠BAE+∠GAE）=$\frac{tan∠BAE+tan∠GAE}{1-tan∠BAE•tan∠GAE}$=$\frac{24+13\sqrt{3}}{23}$，
∴BG：AB=$\frac{24+13\sqrt{3}}{23}$，
∵AD∥CG，
∴△CGF∽△ADF，
∴$\frac{CF}{DF}=\frac{CG}{AD}$，
∵AD=BC，
∴$\frac{CF}{DF}=\frac{CG}{BC}=\frac{BG-BC}{BC}=\frac{BG}{BC}-1$=$\frac{BG}{AB}-1$=$\frac{24+13\sqrt{3}}{23}-1=\frac{1+13\sqrt{3}}{23}$．

點評 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，兩角和的正切值，正方形的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．