Question

8．如圖，已知，在矩形ABCD中，∠BAD的平分線分別與邊BC及邊DC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，G，點(diǎn)G為EF中點(diǎn)，連接DG．
（1）如果AB=2，BC=4，求△ADG的面積；
（2）聯(lián)結(jié)BD，求∠BDG的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）作輔助線，構(gòu)建全等三角形，先根據(jù)角平分線和矩形的對(duì)邊平行得：DF=AD=4，并求出CF=AB=2，證明△ABE≌△FCE，則AE=EF，由△AGH∽△AFD，列比例式求DG的長(zhǎng)，代入面積公式可得結(jié)論；
（2）如圖2，作輔助線，想辦法證明△BGD是等腰直角三角形，就可以得出結(jié)論，關(guān)鍵是證明△BMG≌△DNG即可．

解答 解：（1）如圖1，過G作GH⊥AD于H，交BC于M，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AD=BC=4，DC=AB=2，
∴∠BAE=∠AFD，
∵AF平分∠BAD，
∴∠BAE=∠FAD，
∴∠AFD=∠FAD，
∴DF=AD=4，
∴CF=DF-DC=4-2=2，
∴AB=CF，
∵∠AEB=∠FEC，∠BAE=∠AFD，
∴△ABE≌△FCE，
∴AE=EF，
∵G是EF的中點(diǎn)，
∴EG=GF=$\frac{1}{2}$EF，
∴$\frac{AG}{AF}=\frac{3}{4}$，
∵GH∥DF，
∴△AGH∽△AFD，
∴$\frac{GH}{DF}=\frac{AG}{AF}$，
∴$\frac{GH}{4}=\frac{3}{4}$，
∴GH=3，
∴S_△ADG=$\frac{1}{2}$AD•GH=$\frac{1}{2}$×4×3=6；
（2）如圖2，過G作GN⊥DF于N，連接CG，
∵∠GHD=∠HDN=∠GND=90°，
∴四邊形HGND是矩形，
∴DH=GN，
在Rt△ECF中，∵∠F=45°，
∴△ECF是等腰直角三角形，
∵G是EF的中點(diǎn)，
∴CG⊥EF，
∵∠F=45°，
∴∠FCG=45°，
∴∠CGN=45°，
∴GN=NC，
∴四邊形MGNC是正方形，
∴GM=GN=CN=FN，
∵BC=AD=FD，
∴BC-CM=DF-FN，
即BM=DN，
∵∠BMG=∠GNC=90°，
∴△BMG≌△DNG，
∴BG=DG，
∠BGM=∠DGN，
∴∠BGM+∠MGD=∠DGN+∠MGD，
即∠BGD=90°，
∴△BGD是等腰直角三角形，
∴∠BDG=45°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定、相似三角形的性質(zhì)和判定、矩形、正方形的性質(zhì)和判定、角平分線的定義、等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，運(yùn)用的知識(shí)點(diǎn)較多，熟練掌握這些知識(shí)點(diǎn)是關(guān)鍵，尤其是第二問，作輔助線，構(gòu)建并證明△BMG≌△DNG是關(guān)鍵．