Question

19．如圖1，在正方形ABCD中，P為對角線BD上的一點(diǎn)，點(diǎn)E在AD的延長線上，且PA=PE，PE交CD于F，連接CE．
（1）求證：△PCE是等腰直角三角形；
（2）如圖2，把正方形ABCD改為菱形ABCD，其他條件不變，當(dāng)∠ABC=120°時(shí)，判斷△PCE的形狀，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）由△PDA≌△PDC，推出PA=PC，∠3=∠1，由PA=PE，推出∠2=∠3，推出∠1=∠2，由∠EDF=90°，∠DFE=∠PFC，推出∠FPC=EDF=90°，推出△PEC是等腰直角三角形；
（2）由△PDA≌△PDC，推出PA=PC，∠3=∠1，由PA=PE，推出∠2=∠3，PA═PE=PC，推出∠1=∠2，由∠DFE=∠PFC，推出∠EPC=∠EDC，由∠ADC=120°，推出∠EDC=60°，推出∠EPC=60°，由PE=PC，即可證明△PEC是等邊三角形；

解答 （1）證明：如圖1中，

∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=DC，∠ADB=∠CDB=45°，∠ADC=90°，
在△PDA和△PDC中，
$\left\{\begin{array}{l}{PD=PD}\\{∠PDA=∠PDC}\\{DA=DC}\end{array}\right.$，
∴△PDA≌△PDC，
∴PA=PC，∠3=∠1，
∵PA=PE，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠2，
∵∠EDF=90°，∠DFE=∠PFC，
∴∠FPC=EDF=90°，
∴△PEC是等腰直角三角形．

（2）解：如圖2中，結(jié)論：△PCE是等邊三角形．

理由：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AD=DC，∠ADB=∠CDB，∠ADC=∠ABC=120°，
在△PDA和△PDC中，
$\left\{\begin{array}{l}{PD=PD}\\{∠PDA=∠PDC}\\{DA=DC}\end{array}\right.$，
∴△PDA≌△PDC，
∴PA=PC，∠3=∠1，
∵PA=PE，
∴∠2=∠3，PA═PE=PC，
∴∠1=∠2，
∵∠DFE=∠PFC，
∴∠EPC=∠EDC，
∵∠ADC=120°，
∴∠EDC=60°，
∴∠EPC=60°，∵PE=PC，
∴△PEC是等邊三角形．

點(diǎn)評 本題考查正方形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考常考題型．