Question

13．如圖，在直角△ABC中，∠C=90°，AC=4，∠A=60°，CD是邊AB上的中線，直線BM∥AC，E是邊CA延長線上一點(diǎn)，ED交直線BM于點(diǎn)F，將△EDC沿CD翻折得△E′DC，射線DE′交直線BM于點(diǎn)G．
（1）如圖1，當(dāng)CD⊥EF時(shí)，求BF的值；
（2）如圖2，當(dāng)G在點(diǎn)F右側(cè)時(shí)，求證：△BDF∽△BGD；
（3）如果△DFG的面積為6$\sqrt{3}$，求AE的長．

Answer 1

分析 （1）由∠ACB=90°，AD=BD，利用斜邊上的中線等于斜邊的一半得到CD=AD=BD，再由∠BAC=60°，得到三角形ADC為等邊三角形，由AC的長求出AD與BD的長，同時(shí)求出∠ABC=30°，由BM與AC平行，利用兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等得到∠MBC=∠ACB=90°，再由CD垂直于EF，得到∠CDE和∠CDF都為直角，在直角三角形EDC中，求出∠DEC為30°，利用兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等可得出∠BFD也為30°，而由∠CDE-∠CDA求出∠EDA為30°，利用對頂角相等得到∠BDF為30°，即∠BFD=∠BDF，利用等角對等邊可得出BD=BF，由BD的長即可求出BF的長；
（2）當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)F的右側(cè)時(shí)，如圖2所示，由翻折，得∠E′CD=∠ACD=60°，得到一對內(nèi)錯(cuò)角相等，利用內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行，得到CE′∥AB，再由兩直線平行得到一對內(nèi)錯(cuò)角相等，利用等量代換得到∠BDG=∠BFD，再由一對公共角，利用兩對應(yīng)角相等的兩三角形相似可得出△BDF∽△BGD；
（3）分兩種情況考慮：（i）當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)F的右側(cè)時(shí)，在y與x的關(guān)系式中，令y=6$\sqrt{3}$列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到x的值，即為AE的長；（ii）當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)F的左側(cè)時(shí)，如圖3所示，列出此時(shí)y與x的關(guān)系式，令y=6$\sqrt{3}$列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到x的值，即為AE的長，綜上，得到所有滿足題意的AE的長．

解答 解：（1）∵∠ACB=90°，AD=BD，
∴CD=AD=BD，
∵∠BAC=60°，
∴∠ADC=∠ACD=60°，∠ABC=30°，AD=BD=AC，
∵AC=4，
∴AD=BD=AC=4，
∵BM∥AC，
∴∠MBC=∠ACB=90°，
又∵CD⊥EF，
∴∠CDF=90°，
∴∠BDF=30°，
∴∠BFD=30°，
∴∠BDF=∠BFD，
∴BF=BD=4；

（2）①證明：由翻折，得∠E′CD=∠ACD=60°，
∴∠ADC=∠E′CD，
∴CE′∥AB，
∴∠CE′D=∠BDG，
∵BM∥AC，
∴∠CED=∠BFD，
又∵∠CE′D=∠CED，
∴∠BDG=∠BFD，
∵∠DBF=∠GBD，
∴△BDF∽△BGD；
（3）設(shè)AE=x，得BF=x，∴$\frac{x}{4}$=$\frac{4}{BG}$，BG=$\frac{16}{x}$，
當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)F的右側(cè)時(shí)，
由題意，得6$\sqrt{3}$=$\frac{16\sqrt{3}}{x}$-$\sqrt{3}x$，
整理，得x²+6x-16=0，
解得x₁=2，x₂=-8（不合題意，舍去），
當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)F的左側(cè)時(shí)，
由題意，得6$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}x$-$\frac{16\sqrt{3}}{x}$，
整理，得x²-6x-16=0，
解得x₃=8，x₄=-2（不合題意，舍去），
綜上所述，AE的值為2或8．

點(diǎn)評 此題考查了相似形綜合題，涉及的知識有：相似三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)，以及等腰三角形的判定與性質(zhì)，利用了數(shù)形結(jié)合及分類討論的思想，熟練掌握判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．