Question

7．在△ABC中，
（1）如圖1，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AC，AB上一點(diǎn)，若BE，CF相交于點(diǎn)G，請(qǐng)說明∠BGC=∠1+∠A+∠2；
（2）如圖2，若BE，CF分別是AC，AB上的高，請(qǐng)說明∠1=∠2理由；
（3）如圖3，若∠ABC，∠ACB，∠BAC的角平分線BE，CF，AD相交于點(diǎn)G，則：
①∠1+∠2+∠3=90°；
②若過點(diǎn)G作GH⊥BC于點(diǎn)H，發(fā)現(xiàn)∠BGD=∠CGH，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三角形的外角性質(zhì)，求得∠BGC=∠BGP+∠CGP，據(jù)此進(jìn)行計(jì)算即可；
（2）根據(jù)BE，CF分別是AC，AB上的高，可得△ABE和△ACF是直角三角形，進(jìn)而得出∠1+∠A=∠2+∠A=90°，據(jù)此可得∠1=∠2；
（3）根據(jù)∠ABC，∠ACB，∠BAC的角平分線BE，CF，AD相交于點(diǎn)G，可得∠1+∠2+∠3=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB+∠BAC），據(jù)此進(jìn)行計(jì)算即可；②根據(jù)∠BGD是△ABG的外角，得出∠BGD=∠1+∠3=$\frac{1}{2}$∠ABC+$\frac{1}{2}$∠BAC=90°-$\frac{1}{2}$∠ACB，再根據(jù)CF平分∠ACB，GH⊥BC，可得Rt△CHG中，∠CGH=90°-∠GCH=90°-$\frac{1}{2}$∠ACB，進(jìn)而得到∠BGD=∠CGH．

解答 解：（1）∵如圖1，連接AG并延長(zhǎng)至P，
∵∠BGP是△ABG的外角，
∴∠BGP=∠1+∠BAP，
同理可得，∠CGP=∠2+∠CAP，
∴∠BGC=∠BGP+∠CGP=∠1+∠BAP+∠2+∠CAP=∠1+∠A+∠2；

（2）∵如圖2，BE，CF分別是AC，AB上的高，
∴△ABE和△ACF是直角三角形，
∴∠1+∠A=∠2+∠A=90°，
∴∠1=∠2；

（3）①如圖3，∵∠ABC，∠ACB，∠BAC的角平分線BE，CF，AD相交于點(diǎn)G，
∴∠1=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠2=$\frac{1}{2}$∠ACB，∠3=$\frac{1}{2}$∠BAC，
∴∠1+∠2+∠3=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB+∠BAC）=$\frac{1}{2}$×180°=90°，
故答案為：90°；

②∵∠BGD是△ABG的外角，
∴∠BGD=∠1+∠3=$\frac{1}{2}$∠ABC+$\frac{1}{2}$∠BAC
=$\frac{1}{2}$（180°-∠ACB）=90°-$\frac{1}{2}$∠ACB，
∵CF平分∠ACB，
∴∠GCH=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∵GH⊥BC，
∴Rt△CHG中，∠CGH=90°-∠GCH=90°-$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠BGD=∠CGH．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理以及角平分線的定義的運(yùn)用，解決問題的關(guān)鍵是掌握：三角形內(nèi)角和等于180°．解決第（3）問的難點(diǎn)在于將∠BGD和∠CGH都用90°-$\frac{1}{2}$∠ACB表示出來．