Question

16．如圖，將一張矩形紙片ABCD沿直線MN折疊，使點(diǎn)C落在點(diǎn)A處，點(diǎn)D落在點(diǎn)E處，直線MN交BC于點(diǎn)M，交AD于點(diǎn)N．
（1）請(qǐng)判斷△CMN的形狀，并說(shuō)明理由；
（2）如果MC=3ND，CD=4，求線段MN的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）由折疊的性質(zhì)可得：∠ANM=∠CNM，由四邊形ABCD是矩形，可得∠ANM=∠CMN，則可證得∠CMN=∠CNM，繼而可得CM=CN；
（2）首先過(guò)點(diǎn)N作NH⊥BC于點(diǎn)H，由MC=3ND，易得MH=2HC，然后設(shè)DN=x，在Rt△CDN中，利用勾股定理得出DC=2$\sqrt{2}$x=4，求出x，再在Rt△MNH中根據(jù)勾股定理，可求得MN的長(zhǎng)．

解答 解：（1）△CMN是等腰三角形．理由如下：
由折疊的性質(zhì)可得：∠ANM=∠CNM．
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC．
∴∠ANM=∠CMN．
∴∠CMN=∠CNM．
∴CM=CN，
即△CMN為等腰三角形；

（2）過(guò)點(diǎn)N作NH⊥BC于點(diǎn)H，則四邊形NHCD是矩形．
∴HC=DN，NH=DC．
∵M(jìn)C=3ND，
∴MH=2HC．
設(shè)DN=x，則HC=x，MH=2x，
∴CN=CM=3x．
在Rt△CDN中，DC=2$\sqrt{2}$x=4，
∴x=$\sqrt{2}$，
∴HM=2$\sqrt{2}$．
在Rt△MNH中，MN=$\sqrt{M{H}^{2}+N{H}^{2}}$=$\sqrt{8+16}$=2$\sqrt{6}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了折疊的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、勾股定理以及平行線的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．