Question

12．如圖1，點I是△ABC的內(nèi)心，AI的延長線交△ABC的外接圓⊙O于點D．
（1）求證：DB=DC=DI；
（2）若AB是⊙O的直徑，OI⊥AD，求tan$\frac{∠CAD}{2}$的值．

Answer 1

分析 （1）要證明ID=BD=DC，只要求得∠BID=∠IBD，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可得到結論；
（2）由AB是⊙O的直徑，得到BD⊥AD，由于OI⊥AD，得到OI∥BD，于是求得AD=2BD，BD=2OI，設OI=x，則BD=AI=2x，AD=4x，得到AB=$\sqrt{A{D}^{2}+B{D}^{2}}$=2$\sqrt{5}$x，如圖2，過O作OE⊥BD交⊙O于E，連接AE交OI于F，則OE∥AI，得到比例式代入求得IF=$\frac{2}{\sqrt{5}+2}$x，即可得到結果．

解答 （1）證明：∵點I是△ABC的內(nèi)心，
∴∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠CBI，
∵∠CBD=∠CAD，
∴∠BAD=∠CBD，
∴∠BID=∠ABI+∠BAD，
∴∠ABI=∠CBI，∠BAD=∠CAD=∠CBD，
∵∠IBD=∠CBI+∠CBD，
∴∠BID=∠IBD，
∴ID=BD，
∵∠BAD=∠CAD，
∴$\widehat{BD}=\widehat{CD}$，
∴CD=BD，
∴DB=DC=DI；

（2）∵AB是⊙O的直徑，
∴BD⊥AD，OI⊥AD，
∴OI∥BD，
∵OA=OB，
∴AI=DI，
由（1）知ID=BD，
∴AD=2BD，BD=2OI，
設OI=x，則BD=AI=2x，AD=4x，
∴AB=$\sqrt{A{D}^{2}+B{D}^{2}}$=2$\sqrt{5}$x，
如圖2，過O作OE⊥BD交⊙O于E，連接AE交OI于F，則OE∥AI，
∴$\frac{AI}{OE}=\frac{IF}{OF}$，
即$\frac{2x}{\sqrt{5}x}$=$\frac{IF}{x-IF}$，
∴IF=$\frac{2}{\sqrt{5}+2}$x，
∵OE⊥BD，
∴$\widehat{BE}=\widehat{DE}$，
∴∠DAE=$\frac{1}{2}$∠BAD=$\frac{1}{2}$∠CAD，
∴tan∠DAE=tan$\frac{∠CAD}{2}$=$\frac{IF}{AI}=\frac{\frac{2}{\sqrt{5}+2}x}{2x}$=$\sqrt{5}$-2．

點評 本題考查了三角形的內(nèi)切圓和內(nèi)心，三角形的外接圓和外心，垂徑定理，圓周角定理，三角形外角性質(zhì)，等腰三角形的判定等知識點的應用，能正確作出輔助線并求出AD=2BD是解此題的關鍵，有一定的難度．