Question

6．根據(jù)下列條件求二次函數(shù)的解析式
（1）拋物線過（-1，0），（3，0），（1，-5）三點，并求出頂點和對稱軸；
（2）當(dāng)x=3時，y_最小值=-1，且圖象過（0，7）；
（3）與x軸交點的橫坐標(biāo)分別是x₁=-3，x₂=1時，與y軸交點為（0，-2），并求出頂點和對稱軸．

Answer 1

分析 （1）設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=a（x-x₁）（x-x₂），把（-1，0），（3，0）代入得出y=a（x+1）（x-3），把（1，-5）代入求出a即可；
（2）設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=a（x-h）²+k，代入頂點坐標(biāo)，再代入（0，7）求出a即可；
（3）設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=a（x-x₁）（x-x₂），代入點的坐標(biāo)求出a即可．

解答 解：（1）設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=a（x-x₁）（x-x₂），
把（-1，0），（3，0）代入得：y=a（x+1）（x-3），
把（1，-5）代入得：-5=a（1+1）（1-3），
解得：a=$\frac{5}{4}$，
所以二次函數(shù)的解析式為：y=$\frac{5}{4}$（x+1）（x-3），即y=$\frac{5}{4}$x²-$\frac{5}{2}$x-$\frac{15}{4}$；

（2）設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=a（x-h）²+k，
∵當(dāng)x=3時，y_最小值=-1，
∴頂點坐標(biāo)為（3，-1），
代入得：y=a（x-3）²-1，
把（0，7）代入得：a（0-3）²-1=7，
解得：a=$\frac{8}{9}$，
所以二次函數(shù)的解析式為：y=$\frac{8}{9}$（x-3）²-1，即y=$\frac{8}{9}$x²-$\frac{16}{3}$x+7；

（3）設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=a（x-x₁）（x-x₂），
∵與x軸交點的橫坐標(biāo)分別是x₁=-3，x₂=1，
∴把（-3，0），（1，0）代入得：y=a（x+3）（x-1），
∵與y軸交點為（0，-2），
∴代入得：a（0+3）（0-1）=-2，
解得：a=$\frac{2}{3}$，
所以二次函數(shù)的解析式為：y=$\frac{2}{3}$（x+3）（x-1），即y=$\frac{2}{3}$x²+$\frac{4}{3}$x-2．

點評 本題考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式的應(yīng)用，能正確設(shè)解析式是解此題的關(guān)鍵，利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式時，注意合理利用拋物線解析式的三種形式．