Question

14．如圖，直線y=-x+4與x軸、y軸分別交于點(diǎn)C、B，拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)B、C，并與x軸交于另一點(diǎn)A，其頂點(diǎn)為P，tan∠OAB=4．
（1）求拋物線的關(guān)系式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使△ABQ是以AB為底邊的等腰三角形？若存在，求Q點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）在拋物線及其對(duì)稱軸上分別取點(diǎn)M、N，使以A、C、M、N為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，求此時(shí)平行四邊形的面積．

Answer 1

分析 （1）先由一次函數(shù)線y=-x+4求出C、B的坐標(biāo)，再由三角函數(shù)值求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，再由待定系數(shù)法代入拋物線的解析式就可以求出結(jié)論；
（2）如圖1，假設(shè)存在點(diǎn)Q使△ABQ是以AB為底邊的等腰三角形，設(shè)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（$\frac{5}{2}$，m），對(duì)稱軸為x=$\frac{5}{2}$交x軸于F點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作BE垂直于x=$\frac{5}{2}$于點(diǎn)E，根據(jù)勾股定理建立方程求出m的值即可；
（3）分情況討論，如圖2，當(dāng)AC為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，由對(duì)稱軸x=$\frac{5}{2}$是AC的中垂線，可以得出M點(diǎn)與頂點(diǎn)P（$\frac{5}{2}，-\frac{9}{4}$）重合，N點(diǎn)為點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，就可以求出M的坐標(biāo)為（$\frac{5}{2}，\frac{9}{4}$），進(jìn)而得出結(jié)論；當(dāng)AC為平行四邊形的一，邊時(shí)，存在兩點(diǎn)M₂、M₃（如圖3），先求出M₂的坐標(biāo)，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，就可以得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵直線y=-x+4與x軸、y軸分別交于點(diǎn)C、B，
∴C（4，0），B（0，4）．
∵tan∠OAB=4，
∴A（1，0）．
∵拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)B、C，
∴可設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-1）（x-4），代入點(diǎn)B（0，4），得
4a=4，
解得：a=1，
∴拋物線的解析式為：y=（x-1）（x-4），即y=x²-5x+4．
∴y=（x-$\frac{5}{2}$）²-$\frac{9}{4}$，
∴頂點(diǎn)P（$\frac{5}{2}$，-$\frac{9}{4}$）；
（2）如圖1，假設(shè)存在點(diǎn)Q使△ABQ是以AB為底邊的等腰三角形，

設(shè)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（$\frac{5}{2}$，m），對(duì)稱軸為x=$\frac{5}{2}$交x軸于F點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作BE垂直于x=$\frac{5}{2}$于點(diǎn)E，
在Rt△AQF中，AQ²=AF²+QF²=$（{\frac{3}{2}}^{\;}）^{2}$+m²，
在Rt△BQE中，BQ²=BE²+EQ²=$（\frac{5}{2}）^{2}$+（4-m）²，
∵AQ=BQ，
∴$（{\frac{3}{2}}^{\;}）^{2}$+m²=$（\frac{5}{2}）^{2}$+（4-m）²，
∴m=$\frac{5}{2}$，
∴存在滿足條件的點(diǎn)Q，坐標(biāo)為（$\frac{5}{2}，\frac{5}{2}$）；
（3）如圖2，當(dāng)AC為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，

∵對(duì)稱軸x=$\frac{5}{2}$是AC的中垂線，
∴M點(diǎn)與頂點(diǎn)P（$\frac{5}{2}，-\frac{9}{4}$）重合，N點(diǎn)為點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，其坐標(biāo)為（$\frac{5}{2}，\frac{9}{4}$）．
∴S_{平行四邊形AMCN}=$\frac{1}{2}$AC•PN=$\frac{27}{4}$；
當(dāng)AC為平行四邊形的一，邊時(shí)，存在兩點(diǎn)M₂、M₃（如圖3），易得M₂的橫坐標(biāo)為x=$\frac{5}{2}+3$=$\frac{11}{2}$，

把x=$\frac{11}{2}$代入y=x²-5x+4，
的M₂的縱坐標(biāo)y=$\frac{27}{4}$，
∴S_{平行四邊形ANM2C}=3×$\frac{27}{4}$=$\frac{81}{4}$．
當(dāng)點(diǎn)M在M3的位置時(shí)，易得S_{平行四邊形ACNM3}=S_{平行四邊形ANM2C}=$\frac{81}{4}$．
∴平行四邊形的面積為$\frac{27}{4}$或$\frac{81}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了運(yùn)用待定系數(shù)法求拋物線的解析式的運(yùn)用，拋物線的性質(zhì)的運(yùn)用，等腰三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，平行四邊形的性質(zhì)的運(yùn)用及平行四邊形的面積公式的運(yùn)用，分類討論思想的運(yùn)用．解答時(shí)求出拋物線的解析式是關(guān)鍵．