Question

9．如圖1，在邊長為5的菱形ABCD中，cos∠BAD=$\frac{3}{5}$，點E是射線AB上的點，作EF⊥AB，交AC于點F．
（1）求菱形ABCD的面積；
（2）求證：AE=2EF；
（3）如圖2，過點F，E，B作⊙O，連結(jié)DF，若⊙O與△CDF的邊所在直線相切，求所有滿足條件的AE的長度．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，作DH⊥AB于H．在Rt△ADH中，由∠AHD=90°，AD=5，cos∠DAH=$\frac{3}{5}$，推出AH=3，DH=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，即可解決問題；
（2）如圖1中，BD與AC交于點G．在Rt△DHB中，可得BD=$\sqrt{D{H}^{2}+B{H}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，由四邊形ABCD是菱形，推出AC⊥BD，BG=DG=$\sqrt{5}$，AG=$\sqrt{A{B}^{2}-B{G}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-（\sqrt{5}）^{2}}$=2$\sqrt{5}$，由△AEF∽△AGB，推出$\frac{AE}{AF}$=$\frac{AG}{BG}$=$\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$=2，即可解決問題；
（3）分三種情形分別求解：①如圖2中，當⊙O與直線DF相切時．②如圖3中，當⊙O與AC相切時．③如圖4中，當⊙O與CD相切于點M．分別求解即可；

解答 （1）解：如圖1中，作DH⊥AB于H．

在Rt△ADH中，∵∠AHD=90°，AD=5，cos∠DAH=$\frac{3}{5}$，
∴AH=3，DH=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
∴S_菱形ABCD=AB•DH=5×4=20．

（2）證明：如圖1中，BD與AC交于點G．
在Rt△DHB中，∵DH=4，BH=2，
∴BD=$\sqrt{D{H}^{2}+B{H}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，BG=DG=$\sqrt{5}$，AG=$\sqrt{A{B}^{2}-B{G}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-（\sqrt{5}）^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∵∠EAF=∠BAG，∠AEF=∠AGB=90°，
∴△AEF∽△AGB，
∴$\frac{AE}{AF}$=$\frac{AG}{BG}$=$\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$=2，
∴AE=2EF．

（3）解：①如圖2中，當⊙O與直線DF相切時，易知，∠BFD=90°，DF=BF．

∵BD=2$\sqrt{5}$，
∴BF=$\sqrt{10}$，設(shè)EF=x，則AE=2EF=2x，
在Rt△BEF中，∵BF²=EF²+BE²，
∴10=x²+（5-2x）²，
解得x=1或3，
∴AE=2或6時，⊙O與直線DF相切．
②如圖3中，當⊙O與AC相切時，易知點F與G重合，設(shè)EF=x，AE=2x，

在Rt△AFE中，∵AG²=AE²+GE²，
∴20=4x²+x²，
∴x²=4，
∴x=2，
∴AE=4時，⊙O與直線CF相切．

③如圖4中，當⊙O與CD相切于點M，延長MO交AE與H，設(shè)EF=x，則AE=2x，則OH=$\frac{1}{2}$EF=$\frac{1}{2}$x，BF=$\sqrt{{x}^{2}+（2x-5）^{2}}$，

∵HM=4，
∴OM+OH=4，
∴$\frac{1}{2}$$\sqrt{{x}^{2}+（2x-5）^{2}}$+$\frac{1}{2}$x=4，
整理得，4x²-4x-39=0，
解得x=$\frac{1+2\sqrt{10}}{2}$或$\frac{1-2\sqrt{10}}{2}$（舍棄），
∴AE=1+2$\sqrt{10}$，
綜上所述，滿足條件的AE的值為2或4或6或1+2$\sqrt{10}$．

點評 本題考查圓綜合題、菱形的性質(zhì)、直線與圓的位置關(guān)系、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學知識解決問題，學會用分類討論的思想思考問題，學會構(gòu)建方程解決問題，屬于中考壓軸題．