Question

12．如圖，在一張矩形紙片中，AB=4，BC=8，點E，F(xiàn)分別在邊AD，BC上，將紙片ABCD沿直線EF折疊，點C恰好與點A重合，點D落在點D′處
（1）求EC的長度；
（2）證明：四邊形AFCE是菱形．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)折疊的性質(zhì)，AE=CE，則DE=AD-AE=AD-CE=8-CE，在Rt△CDE中，CE²=DE²+CD²，解方程即可；
（2）先證明四邊形AFCE是平行四邊形，再由翻折得AF=CF，則四邊形AFCE是菱形．

解答 解：（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)，AE=CE，
∴DE=AD-AE=AD-CE=8-CE，
在Rt△CDE中，CE²=DE²+CD²，
∴CE²=（8-CE）²+4²，
解得：CE=5；
（2）如圖，
連接BD，則BD過點O，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴∠OBF=∠ODE，
在△OBF和△ODE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OBF=∠ODE}\\{OB=OD}\\{∠BOF=∠ODE}\end{array}\right.$，
∴△OBF≌△ODE，
∴BF=DE；
∴AE=CF，
∴四邊形AFCE是平行四邊形，
由翻折得，AF=CF，
∴四邊形AFCE是菱形．

點評 此題考查了矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、菱形的判定，注意掌握輔助線的作法，靈活利用圖形的性質(zhì)解決問題．