Question

4．如圖，在正三角形ABC中，D，E，F(xiàn)分別是BC，AC，AB上的點(diǎn)，DE⊥AC，EF⊥AB，F(xiàn)D⊥BC，則△DEF的面積與△ABC的面積之比等于（　�。�

• A． 1：3
• B． 2：3
• C． $\sqrt{3}$：2
• D． $\sqrt{3}$：3

Answer 1

分析 首先根據(jù)題意求得：∠DFE=∠FED=∠EDF=60°，即可證得△DEF是正三角形，又由直角三角形中，30°所對(duì)的直角邊是斜邊的一半，得到邊的關(guān)系，即可求得DF：AB=1：$\sqrt{3}$，又由相似三角形的面積比等于相似比的平方，即可求得結(jié)果．

解答 解：∵△ABC是正三角形，
∴∠B=∠C=∠A=60°，
∵DE⊥AC，EF⊥AB，F(xiàn)D⊥BC，
∴∠AFE=∠CED=∠BDF=90°，
∴∠BFD=∠CDE=∠AEF=30°，
∴∠DFE=∠FED=∠EDF=60°，$\frac{BD}{BF}$=$\frac{1}{2}$，
∴△DEF是正三角形，
∴BD：DF=1：$\sqrt{3}$①，BD：AB=1：3②，△DEF∽△ABC，
①÷②，$\frac{AB}{DF}$=$\sqrt{3}$，
∴DF：AB=1：$\sqrt{3}$，
∴△DEF的面積與△ABC的面積之比等于1：3．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，以及直角三角形的性質(zhì)．此題難度不是很大，解題時(shí)要注意仔細(xì)識(shí)圖．