Question

19．等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，∠B的平分線交AC于D，過(guò)點(diǎn)C向BD作垂線，并與BD延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，求證：BD=2CE．

Answer 1

分析 根據(jù)已知條件，易證△BFE≌△BCE，所以BF=BC，所以∠F=∠BCE，根據(jù)等腰三角形三線合一這一性質(zhì)可得：CE=FE，再證明△ABD≌△ACF，證得BD=CF，從而證得BD=2CE．

解答 證明：延長(zhǎng)CE，交BA延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
又∵BE⊥EC，
∴∠BEC=∠BEF=90°，
在△BEF和△BEC中，
$\left\{{\begin{array}{l}{∠ABD=∠DBC}\\{BE=BE}\\{∠BEF=∠BEC}\end{array}}\right.$，
∴△BEF≌△BEC，
∴EF=EC，
即CF=2EC，
∵AB=AC，∠BAC=90°
∴∠CAF=90°
Rt△ABD中，∠ABD+∠ADB=90°，
Rt△AEF中，∠ABD+∠F=90°，
∴∠ADB=∠F，
在△ABD和△ACF中，
$\left\{{\begin{array}{l}{∠ADB=∠F}\\{∠BAC=∠FAC}\\{AB=AC}\end{array}}\right.$，
∴△ABD≌△ACF，
∴BD=CF，
∵CF=2EC，
∴BD=2CE．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練應(yīng)用等邊對(duì)等角以及等腰三角形三線合一的性質(zhì)．