Question

9．邊長為2的正方形ABCD的兩頂點A、C分別在正方形EFGD的兩邊DE，DG上（如圖1），現(xiàn)將正方形ABCD繞D點順時針旋轉(zhuǎn)，當A點第一次落在DF上時停止旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過程中，AB邊交DF于點M，BC邊交DG于點N．

（1）旋轉(zhuǎn)過程中，當MN和AC平行時（如圖2），求正方形ABCD旋轉(zhuǎn)的度數(shù)；
（2）如圖3，設(shè)△MBN的周長為p，在旋轉(zhuǎn)正方形ABCD的過程中，p值是否有變化？請證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)平行線及正方形的性質(zhì)得出BMN=∠BAC=45°，∠BNM=∠BCA=45°，故可得出BM=BN，根據(jù)SAS定理得出△DAM≌△DCN，故可得出∠ADM=∠CDN，由此可得出結(jié)論；
（2）延長BA交DE于H點，由ASA定理得出△DAH≌△DCN，DH=DN，AH=CN，再由SAS定理可得出△DMH≌△DMN，故可得出MN=MH=AM+AH，MN=AM+CN．由p=MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵MN∥AC，
∴∠BMN=∠BAC=45°，∠BNM=∠BCA=45°．
∴∠BMN=∠BNM，
∴BM=BN．
又∵BA=BC，
∴AM=CN．
在△DAM與△DCN中，
$\left\{\begin{array}{l}AD=CD\\∠DAM=∠DCN\\ AM=CN\end{array}\right.$，
∴△DAM≌△DCN（SAS），
∴∠ADM=∠CDN，
∴∠ADM=$\frac{1}{2}$（90°-45°）=22.5°．
∴旋轉(zhuǎn)過程中，當MN和AC平行時，正方形ABCD旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為45°-22.5°=22.5°．

（2）不變化，證明如下：
如圖，延長BA交DE于H點，
∵∠ADE=45°-∠ADM，∠CDN=90°-45°-∠ADM=45°-∠ADM，
∴∠ADE=∠CDN．
在△DAH與△DCN中，
$\left\{\begin{array}{l}∠ADH=∠CDN\\ AD=CD\\∠DAH=∠DCN\end{array}\right.$，
∴△DAH≌△DCN（ASA），
∴DH=DN，AH=CN．
在△DMH與△DMN中，
$\left\{\begin{array}{l}DH=DN\\∠MDE=∠MDN\\ DM=DM\end{array}\right.$，
∴△DMH≌△DMN（SAS），
∴MN=MH=AM+AH．
∴MN=AM+CN．
∴p=MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC=4．
∴在旋轉(zhuǎn)正方形ABCD的過程中，p值無變化．

點評 本題考查的是旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟知圖形在旋轉(zhuǎn)的過程中圖形的大小及形狀不變是解答此題的關(guān)鍵．