Question

10．如圖，經(jīng)過點A（0，6）的拋物線y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c與x軸相交于B（-2，0）、C兩點．
（1）求此拋物線的函數(shù)關系式和頂點D的坐標；
（2）求直線AC所對應的函數(shù)關系式；
（3）將（1）中求得的拋物線向左平移1個單位長度，再向上平移m（m＞0）個單位長度得到新拋物線y₁，若新拋物線y₁的頂點P在△ABC內，求m的取值范圍；
（4）在（3）的結論下，新拋物線y₁上是否存在點Q，使得△QAB是以AB為底邊的等腰三角形，請分析所有可能出現(xiàn)的情況，并直接寫出相對應的m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）把A點和B點坐標代入y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c得關于b、c的方程組，然后解方程求出b、c即可得到拋物線解析式，然后把一般式配成頂點式可得頂點D的坐標；
（2）先解方程$\frac{1}{2}$x²-2x-6=0得C（6，0），然后利用待定系數(shù)法求直線AC的解析式；
（3）利用拋物線的平移規(guī)律得到新拋物線y₁的解析式為y=$\frac{1}{2}$（x-1）²-8+m，再計算出新拋物線的對稱軸與直線AC的交點坐標，從而得到-5＜-8+m＜0，然后解不等式得到m的范圍；
（4）作AB的垂直平分線交x軸于E，交AB與F，如圖，證明Rt△BEF∽Rt△BAO，利用相似比計算出BE=10，則E（8，0），則利用待定系數(shù)法可確定直線EF的解析式為y=$\frac{1}{3}$x-$\frac{8}{3}$，然后通過判斷方程$\frac{1}{2}$（x-1）²-8+m=$\frac{1}{3}$x-$\frac{8}{3}$的根的情況確定拋物線y₁與直線EF的公共點的個數(shù)，從而可判斷新拋物線y₁上是否存在點Q，使得△QAB是以AB為底邊的等腰三角形，再寫出對應的m的范圍．

解答 解：（1）把A（0，-6）、B（-2，0）代入y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c得$\left\{\begin{array}{l}{c=-6}\\{2-2b+c=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=-6}\end{array}\right.$，
所以拋物線解析式為y=$\frac{1}{2}$x²-2x-6；
因為y=$\frac{1}{2}$（x-2）²-8，
所以頂點D的坐標為（2，-8）；
（2）當y=0時，$\frac{1}{2}$x²-2x-6=0，解得x₁=-2，x₂=6，則C（6，0），
設直線AC的解析式為y=mx+n，
把A（0，-6），C（6，0）代入得$\left\{\begin{array}{l}{n=-6}\\{6m+n=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=1}\\{n=-6}\end{array}\right.$，
所以直線AC的解析式為y=x-6；
（3）拋物線y=$\frac{1}{2}$（x-2）²-8向左平移1個單位長度，再向上平移m（m＞0）個單位長度得到新拋物線y₁的解析式為y=$\frac{1}{2}$（x-1）²-8+m，

當x=1時，y=x-6=-5，
∵新拋物線y₁的頂點P在△ABC內，
∴-5＜-8+m＜0，
∴3＜m＜8；
（4）作AB的垂直平分線交x軸于E，交AB與F，如圖，AB=$\sqrt{{2}^{2}+{6}^{2}}$=2$\sqrt{10}$，則BF=$\sqrt{10}$，
∵∠BEF=∠BAO，
∴Rt△BEF∽Rt△BAO，
∴$\frac{BE}{BA}$=$\frac{BF}{BO}$，即$\frac{BE}{2\sqrt{10}}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，解得BE=10，
∴E（8，0），
而F（-1，-3），
設直線EF的解析式為y=kx+b，
把E（8，0），F(xiàn)（-1，-3）代入得$\left\{\begin{array}{l}{8k+b=0}\\{-k+b=-3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{3}}\\{b=-\frac{8}{3}}\end{array}\right.$，
∴直線EF的解析式為y=$\frac{1}{3}$x-$\frac{8}{3}$，
把方程$\frac{1}{2}$（x-1）²-8+m=$\frac{1}{3}$x-$\frac{8}{3}$，整理得3x²-8x+6m-29=0，
△=（-8）²-4×3×（6m-29）=-72m+412，
當△=0，即-72m+412=0，解得m=$\frac{103}{18}$時，拋物線y1與直線EF只有一個公共點，此時拋物線y₁上存在一個點Q，使得△QAB是以AB為底邊的等腰三角形；
當△＞0，即-72m+412＞0，解得m＜$\frac{103}{18}$，則m的范圍為3＜m＜$\frac{103}{18}$，拋物線y₁與直線EF有兩個公共點，此時拋物線y₁上存在兩個點Q，使得△QAB是以AB為底邊的等腰三角形；
當△＜0，即-72m+412＜0，解得m＞$\frac{103}{18}$時，則m的范圍為$\frac{103}{18}$＜m＜8，拋物拋物線y₁與直線EF沒有公共點，此時拋物線y₁上不存在一個點Q，使得△QAB是以AB為底邊的等腰三角形．

點評 本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)的性質和拋物線的平移變換；會利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)和二次函數(shù)解析式；理解坐標與圖形性質；會應用相似比和勾股定理進行幾何計算．