Question

2．已知，等腰直角△PQR的三個(gè)頂點(diǎn)P、Q、R分別在等腰直角△ABC的三條邊上，∠ACB=∠RPQ=90°．

（1）如圖（1），當(dāng)點(diǎn)P在AB邊上時(shí)，求證：點(diǎn)P是AB中點(diǎn)；
（2）記△PQR，△ABC的面積分別為S_△PQR，S_△ABC，
①如圖（2），當(dāng)點(diǎn)P在BC上，且PR⊥AB時(shí)，$\frac{{S}_{△PQR}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{2}{9}$；
②求$\frac{{S}_{△PQR}}{{S}_{△ABC}}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）先判斷出點(diǎn)C，R，P，Q四點(diǎn)共圓，得出∠ACP=∠BCP即可得出結(jié)論；
（2）①先設(shè)出PC=a，再用等腰直角三角形的性質(zhì)表示出BC=3a，最后用三角形的面積公式即可得出結(jié)論；
②先設(shè)出PQ=PR=x，再用銳角三角函數(shù)表示出BC，最后用三角形的面積公式即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）連接PC，
∵PQR是等腰直角三角形，
∴∠PQR=45°，
∵∠ACB=∠RPQ=90°．
∴點(diǎn)C，R，P，Q四點(diǎn)共圓，
∴∠ACP=∠PQR=45°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACP=∠BCP=45°，
∵AC=BC，
∴點(diǎn)P是AB的中點(diǎn)；

（2）①∵PR⊥AB，PR⊥PQ，
∴PQ∥AB，
設(shè)PC=a，在等腰直角三角形PCQ中，PQ=$\sqrt{2}$a，
∴PR=$\sqrt{2}$a，
在等腰直角三角形PBR中，PB=$\sqrt{2}$PR=2a，
∴BC=3a，
∴$\frac{{S}_{△PQR}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{\frac{1}{2}P{Q}^{2}}{\frac{1}{2}{BC}^{2}}$=$\frac{（\sqrt{2}a）^{2}}{（3a）^{2}}$=$\frac{2}{9}$，
故答案為$\frac{2}{9}$；

②如圖，

設(shè)PQ=PR=x，∠PQC=α（0°＜α＜90°），
在Rt△PCQ中，PC=PQ•sinα=x•sinα，
過(guò)點(diǎn)R作RG⊥BC，
在Rt△PGR中，PG=PR•cosα=x•cosα，RG=PR•sinα=x•sinα，
∴BG=RG=x•sinα，
∴BC=PC+PG+BG=x•sinα+x•cosα+x•sinαα=x（2sinα+cosα），
∴$\frac{{S}_{△PQR}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{\frac{1}{2}P{Q}^{2}}{\frac{1}{2}B{C}^{2}}$=（$\frac{1}{2sinα+cosα}$）²，
∵2sinα+cosα最大值為$\sqrt{5}$，
∴$\frac{{S}_{△PQR}}{{S}_{△ABC}}$的最小值為$\frac{1}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 此題是三角形綜合題，主要考查了四點(diǎn)共圓，等腰直角三角形的性質(zhì)和判定，銳角三角函數(shù)，三角形的面積公式，解（1）的關(guān)鍵是判斷出點(diǎn)C，R，P，Q四點(diǎn)共圓，解（2）的關(guān)鍵是設(shè)出等腰直角三角形PQR的直角邊，表示出等腰直角三角形ABC的直角邊，是一道難度比較大的中考題．