Question

6．如圖，拋物線y=x²+bx+c交x軸于點A（-1，0）和點B（m，0），交y軸于點C，拋物線的頂點為D，m＞1．
（1）分別用m表示b和c；
（2）用m表示D的坐標；
（3）當m取何值時，△ABD是等邊三角形？

Answer 1

分析 （1）根據拋物線與x軸的交點坐標列出解析式，與已知解析式比較，表示出b與c即可；
（2）把拋物線解析式表示為頂點形式，表示出D坐標即可；
（3）連接AD，BD，過D作DE垂直于x軸，利用等邊三角形的性質得到DE=$\sqrt{3}$AE，即可確定出m的值．

解答 解：（1）∵拋物線y=x²+bx+c交x軸于點A（-1，0）和點B（m，0），
∴x²+bx+c=（x+1）（x-m）=x²-（m-1）x-m，
則b=1-m，c=-m；
（2）y=x²+（1-m）x-m=（x+$\frac{1-m}{2}$）²-$\frac{（m+1）^{2}}{4}$，
則頂點D的坐標為（-$\frac{1-m}{2}$，-$\frac{（m+1）^{2}}{4}$）；
（3）若△ABD為等邊三角形，作DE⊥x軸，
可得DE=$\sqrt{3}$AE，
∵DE=$\frac{（m+1）^{2}}{4}$，AE=1-$\frac{1-m}{2}$=$\frac{m+1}{2}$，
∴$\frac{m+1}{2}$=$\sqrt{3}$，
解得：m=2$\sqrt{3}$-1．

點評 此題考查了拋物線與x軸的交點，熟練掌握二次函數的性質是解本題的關鍵．