Question

10．在△ABC中，BG平分∠ABC，CE平分∠ACB，CG，BF，CF分別是△ABC的外角的角平分線，已知∠A=70°．
（1）求∠BEC，∠F，∠G的度數(shù)．
（2）△BFG和△CEG有何共同的特點？
（3）無論∠A為何度數(shù)，∠BEC和∠F有何數(shù)量關(guān)系？∠G和∠F有何數(shù)量關(guān)系？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到∠ABC+∠ACB=180°-70°=110°，由角平分線的性質(zhì)得到∠1+∠2=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=55°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到∠BEC=180°-∠1-∠2=125°，根據(jù)角平分線和平角的定義得到∠1+∠3=∠2+∠4=90°，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和即可得到結(jié)果；
（2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)和平角的定義即可得到結(jié)論；
（3）由（1）知，∠GBF=∠ECF=90°，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵∠A=70°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-70°=110°，
∵BG平分∠ABC，CE平分∠ACB，
∴∠1+∠2=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=55°，
∴∠BEC=180°-∠1-∠2=125°，
∵BF平分∠MBC，CF平分∠BCN，
∴∠1+∠3=∠2+∠4=90°，
∴∠F=360°-90°-90°-125°=55°，
∴∠G=90°-∠F=35°；

（2）∵CG平分∠ACD，
∴∠2+∠5=90°，
∴∠ECG=90°，
∴△BFG和△CEG是直角三角形；

（3）由（1）知，∠GBF=∠ECF=90°，
∴∠BEC+∠F=360°-90°-90°=180°．
∴∠G+∠F=90°，
∴不論∠A為何度數(shù)，∠BEC和∠F互補，∠G和∠F互余．

點評 本題考查了三角形的內(nèi)角和，三角形外角的性質(zhì)，四邊形的內(nèi)角和，平角的定義，熟練掌握各性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．