Question

6．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若點A（-2，n），B（1，-2）是一次函數(shù)y=kx+b的圖象和反比例函數(shù)y=$\frac{m}{x}$的圖象的兩個交點．
（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；
（2）求直線AB與x軸的交點C的坐標(biāo)；
（3）求點O到直線AB的距離．

Answer 1

分析 （1）將B坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式求出m的值，確定出反比例解析式，將A坐標(biāo)代入反比例解析式求出n的值，確定出A的坐標(biāo)，將A與B坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式求出k與b的值，即可確定出一次函數(shù)解析式；
（2）對于y=-x-1，令y=0求出x的值，即可得出C的坐標(biāo)；
（3）確定出OC、AB的長，然后根據(jù)三角形AOB面積=三角形AOC面積+三角形BOC面積，即可求出．

解答 解：（1）∵點B（1，-2）在函數(shù)y=$\frac{m}{x}$的圖象上，
∴m=-2，
∴反比例函數(shù)的解析式為y=-$\frac{2}{x}$，
∵點A（-2，n）在函數(shù)y=-$\frac{2}{x}$的圖象上，
∴n=1，即A（-2，1），
∵y=kx+b經(jīng)過A（-2，1）、B（1，-2），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-2k+b=1}\\{k+b=-2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=-1}\end{array}\right.$，
∴一次函數(shù)的解析式為y=-x-1；

（2）在一次函數(shù)的解析式y(tǒng)=-x-1中，令Y=0得x=-1，
∴點C（-1，0），

（3）∵A（-2，1），B（1，-2），C（-1，0），
∴AB=$\sqrt{（-2-1）^{2}+（1+2）^{2}}$=3$\sqrt{2}$，OC=1，
則S_△AOB=S_△AOC+S_△BOC=$\frac{1}{2}$×1×1+$\frac{1}{2}$×1×2=$\frac{3}{2}$．
設(shè)點O到直線AB的距離為d，
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$AB•d=$\frac{1}{2}$×$3\sqrt{2}$×d=$\frac{3}{2}$，
∴d=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴點O到直線AB的距離為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點評 此題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，涉及的知識有：坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，直線與坐標(biāo)軸的交點，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵．