Question

16．（1）如圖，AC平分∠DAB，∠1=∠2，試說明AB與CD的位置關(guān)系，并予以證明；
（2）如圖，在（1）的條件下，AB的下方兩點(diǎn)E，F(xiàn)滿足：BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，若∠DFB=20°，∠CDE=70°，求∠ABE的度數(shù)
（3）在前面的條件下，若P是BE上一點(diǎn)；G是CD上任一點(diǎn)，PQ平分∠BPG，PQ∥GN，GM平分∠DGP，下列結(jié)論：①∠DGP-∠MGN的值不變；②∠MGN的度數(shù)不變．可以證明，只有一個(gè)是正確的，請你作出正確的選擇并求值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行證明即可；
（2）先由角平分線的定義可得：$∠CDF=\frac{1}{2}∠CDE$=35°，∠ABE=2∠ABF，然后根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等，可得：∠2=∠CDF=35°，然后利用三角形外角的性質(zhì)求出∠ABF的度數(shù)，進(jìn)而可求∠ABE的度數(shù)；
（3）根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和可得∠1=∠BPG+∠B，再根據(jù)平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義表示出∠MGP、∠DPQ，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠NGP=∠GPQ，然后列式表示出∠MGN=$\frac{1}{2}$∠B，從而判定②正確．

解答 （1）答：AB∥CD．
證明：∵AC平分∠DAB，
∴∠1=∠CAB，
∵∠1=∠2，
∴∠2=∠CAB，
∴AB∥CD；
（2）解：如圖2，

∵BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，
∴$∠CDF=\frac{1}{2}∠CDE$=35°，∠ABE=2∠ABF，
∵CD∥AB，
∴∠2=∠CDF=35°，
∵∠2=∠DFB+∠ABF，∠DFB=20°，
∴∠ABF=15°，
∴∠ABE=2∠ABF=30°；
（3）解：如圖3，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)，∠1=∠BPG+∠B，
∵PQ平分∠BPG，GM平分∠DGP，
∴∠GPQ=$\frac{1}{2}$∠BPG，∠MGP=$\frac{1}{2}$∠DGP，
∵AB∥CD，
∴∠1=∠DGP，
∴∠MGP=$\frac{1}{2}$（∠BPG+∠B），
∵PQ∥GN，
∴∠NGP=∠GPQ=$\frac{1}{2}$∠BPG，
∴∠MGN=∠MGP-∠NGP=$\frac{1}{2}$（∠BPG+∠B）-$\frac{1}{2}$∠BPG=$\frac{1}{2}$∠B，
根據(jù)前面的條件，∠B=30°，
∴∠MGN=$\frac{1}{2}$×30°=15°，
∴①∠DGP-∠MGN的值隨∠DGP的變化而變化；②∠MGN的度數(shù)為15°不變．

點(diǎn)評 本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)，角平分線的定義，綜合性較強(qiáng)，難度較大，仔細(xì)分析圖形，理清各角度之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．