Question

1．如圖，已知二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象過A（0，3）、C（3，0）、D（2，3）三點．
（1）求過A、D、C三點的拋物線的解析式；
（2）設Q為x軸上任意一點，P是拋物線上的點，且在拋物線對稱軸左側(cè)，滿足∠QCP=45°，問是否存在這樣的點P、Q，使得P、Q、C為頂點的三角形與△ADC相似？若存在，求出點P、Q的坐標；若不存在，則說明理由．

Answer 1

分析 （1）將點A（0，3）、C（3，0）、D（2，3）代入拋物線的解析式得到關于a、b、c的方程組，解得a、b、c的值，從而得到拋物線的解析式；
（2）依據(jù)兩點間的距離公式求得AD、AC、DC的長，然后依據(jù)∠QCP=45°，求得直線PC的解析式，然后再求得PC與拋物線的交點坐標，從而得到點P的坐標，然后依據(jù)兩邊對應成比例且夾角相等兩三角形形似列比例式求解即可．

解答 解：（1）由二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象過A（0，3）、C（3，0）、D（2，3）三點，得
$\left\{\begin{array}{l}{c=3}\\{9a+3b+c=0}\\{4a+2b+c=3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
二次函數(shù)的解析式為y=-x²+2x+3；
（2）∵A（0，3）、C（3，0）、D（2，3），
∴由兩點間的距離公式可知：AD=2，AC=3$\sqrt{2}$，DC=$\sqrt{10}$．
∵∠QCP=45°，
∴直線PC與x的夾角為45°．
∴直線PC的一次項系數(shù)為1或-1．
當直線PC的一次項系數(shù)為-1時，如圖1所示：

設直線PC的解析式y(tǒng)=-x+b．
將點C（3，0）代入得：b=3．
∴直線PC的解析式為y=-x+3．
將y=-x+3與y=-x²+2x+3聯(lián)立解得：-x+3=-x²+2x+3，解得：x₁=0，x₃=3．
∴點P的坐標為（0，3），此時點P與點A重合．
設QC=x．
∵以P、Q、C為頂點的三角形與△ADC相似，
∴$\frac{AD}{AC}=\frac{AC}{{Q}_{1}C}$或$\frac{AD}{{Q}_{2}C}=\frac{AC}{AC}$，$\frac{2}{3\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{x}$或$\frac{2}{3\sqrt{2}}=\frac{x}{3\sqrt{2}}$．解得：x=9或x=2．
∴Q₁（-6，0），Q₂（1，0）．
當直線CP的一次項系數(shù)為1時，如圖2所示：

設PC的解析式為y=x+b，將點（3，0）代入得：b=-3，
∴直線PC的解析式為y=x-3．
將y=x-3與y=-x²+2x+3聯(lián)立得：x-3=-x²+2x+3，解得：x₁=-2，x₂=3，
∴P（-2，-5），PC=$\sqrt{{5}^{2}+{5}^{2}}$=5$\sqrt{2}$．
設CQ=x，則$\frac{2}{3\sqrt{2}}$=$\frac{x}{5\sqrt{2}}$或$\frac{2}{3\sqrt{2}}$=$\frac{5\sqrt{2}}{x}$，
解得：x=$\frac{10}{3}$或x=15．
∴Q₃（-12，0）或Q₄（-$\frac{1}{3}$，0）．
綜上所述，點Q的坐標為（-6，0）或（1，0）或（-12，0）或（-$\frac{1}{3}$，0）．

點評 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應用，解答本題主要應用了待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式、一次函數(shù)與二次函數(shù)的交點、相似三角形的性質(zhì)，根據(jù)題意畫出符合題意的圖形是解題的關鍵．