Question

15．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（9，0），直線y=$\frac{3}{4}$x+12與x軸、y軸分別交于點(diǎn)C、B，點(diǎn)P是射線CB上的一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合），聯(lián)結(jié)AP．
（1）求tan∠BCA的值；
（2）設(shè)tan∠PAC=t，試求線段CP的長(zhǎng)（用含t的代數(shù)式表示）；
（3）當(dāng)△ABP與△AOB相似時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）對(duì)于直線BC解析式，分別令x與y為0，求出y與x的值，確定出B與C坐標(biāo)，得出OB與OC的長(zhǎng)，在直角三角形BOC中，利用銳角三角函數(shù)定義求出tan∠BCA的值即可；
（2）連接AP，過(guò)P作PQ垂直于x軸，如圖1所示，根據(jù)tan∠PAC=t，設(shè)出PQ與AQ，由OA+OC求出AC的長(zhǎng)，由AC-AQ表示出CQ的長(zhǎng)，根據(jù)tan∠BAC的值，表示出x，進(jìn)而表示出PQ與CQ，利用勾股定理表示出CP即可；
（3）利用兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等得到三角形BOC與三角形AOB相似，利用同角的余角相等得到∠ABC為直角，如圖2所示，分三種情況考慮：當(dāng)△AOB∽△P₁BA，且相似比為1時(shí)；當(dāng)△AOB∽△P₂BA，且相似比為1時(shí)；當(dāng)△AOB∽△ABP₃時(shí)，分別求出P的坐標(biāo)即可．

解答 解：（1）對(duì)于直線y=$\frac{3}{4}$x+12，
令x=0，得到y(tǒng)=12；令y=0，得到x=-16，
∴B（0，12），C（-16，0），
∴OB=12，OC=16，
在Rt△BOC中，tan∠BCA=$\frac{OB}{OC}$=$\frac{12}{16}$=$\frac{3}{4}$；
（2）如圖所示，連接AP，過(guò)P作PQ⊥x軸，

由tan∠PAC=t，設(shè)PQ=tx，則有AQ=x，
∵AC=OA+OC=9+16=25，
∴CQ=AC-AQ=25-x，
由tan∠BAC=$\frac{PQ}{CQ}$=$\frac{3}{4}$，得到4tx=3（25-x），
解得：x=$\frac{75}{4t+3}$，
∴PQ=tx=$\frac{75t}{4t+3}$，CQ=25-$\frac{75}{4t+3}$=$\frac{100t}{4t+3}$，
根據(jù)勾股定理得：CP=$\sqrt{P{Q}^{2}+C{Q}^{2}}$=$\frac{125t}{4t+3}$；
（3）∵OB²=OA•OC，且∠AOB=∠BOC=90°，
∴△AOB∽△BOC，
∴∠ABO=∠ACB，
∵∠ACB+∠CBO=90°，
∴∠ABO+∠CBO=90°，即∠ABC=90°，
如圖2所示，分三種情況考慮：

當(dāng)△AOB∽△P₁BA，且相似比為1時(shí)，P₁B=OA=9，作P₁Q⊥x軸，
∴CP₁=CB-P₁B=20-9=11，
∵tan∠BCA=$\frac{3}{4}$，
設(shè)P₁Q=3x，則有CQ=4x，
根據(jù)勾股定理得：CP₁=5x=11，即x=$\frac{11}{5}$，
∴P₁Q=$\frac{33}{5}$，CQ=$\frac{44}{5}$，OQ=16-$\frac{44}{5}$=$\frac{36}{5}$，
此時(shí)P₁（-$\frac{36}{5}$，$\frac{33}{5}$）；
當(dāng)△AOB∽△P₂BA，且相似比為1時(shí)，BP₂=OA=9，
同理得到P₂（$\frac{36}{5}$，$\frac{87}{5}$）；
當(dāng)△AOB∽△ABP₃時(shí)，有$\frac{B{P}_{3}}{OB}$=$\frac{AB}{OA}$，即BP₃=$\frac{12×15}{9}$=20，
同理得到P₃（16，24），
綜上，滿足題意P的坐標(biāo)為（-$\frac{36}{5}$，$\frac{33}{5}$）或（$\frac{36}{5}$，$\frac{87}{5}$）或（16，24）．

點(diǎn)評(píng) 此題屬于一次函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)有：相似三角形的判定與性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)定義，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，以及一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，熟練掌握性質(zhì)及定理是解本題的關(guān)鍵．