Question

10．如圖所示，矩形ABCD中，AB=1，BC=x，P，Q分別是BC，CD，DA上的點(diǎn)，且∠BAP=45°，CP=CQ，RQ∥AP．RS⊥AP于點(diǎn)S．
（1）試說(shuō)明四邊形PQRS是矩形．
（2）設(shè)矩形PQRS的面積為y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（3）當(dāng)四邊形PQRS是正方形時(shí)，求CP的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，可得∠QPC的度數(shù)，根據(jù)角的和差，可得∠SPQ的度數(shù)，根據(jù)平行線的判定，可得PQ與SR的關(guān)系，根據(jù)矩形的判定，可得答案；
（2）根據(jù)面積的和差，可得函數(shù)關(guān)系式；
（3）根據(jù)正方形的對(duì)角線垂直、相等且互相平分，可得PC與QC與QD的關(guān)系．

解答 （1）證明：∵矩形ABCD中，∠B=∠C=90°．
∵∠BAP=45°，
∴∠BPA=45°．
∵CP=CQ，
∴∠QPC=45°，
∴∠QPS=180°-45°-45°=90°，
∵RS⊥AP于點(diǎn)S，
∴∠RSA=90°=∠QPS，
∴SR∥PQ，
又∵PQ∥AP，
∴四邊形PQRS是矩形；
（2）由面積的和差，得
y=x-$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$（x-1）²-$\frac{1}{2}$（2-x）²-$\frac{1}{2}$（2x-2）²，
化簡(jiǎn)，得y=-$\frac{3}{2}$x²+8x-$\frac{9}{2}$；
（3）由四邊形PQRS是正方形，得
PR=SQ，PR⊥SQ，$\frac{1}{2}$PR=$\frac{1}{2}$SQ．
即PC=CQ=DQ=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了矩形的判定與性質(zhì)，（1）利用了有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形，（2）利用了面積的分割，即矩形的面積減去4個(gè)三角形的面積等于小矩形的面積；（3）利用了正方形的性質(zhì)：正方形的對(duì)角線垂直、相等且互相平分．