Question

16．如圖，拋物線(xiàn)y=ax²+bx-4a經(jīng)過(guò)A（-1，0）、C（0，4）兩點(diǎn)，與x軸交于另一點(diǎn)B．
（1）求拋物線(xiàn)的解析式；
（2）已知點(diǎn)D（m，m+1）在第一象限的拋物線(xiàn)上，求點(diǎn)D關(guān)于直線(xiàn)BC對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，連接BD，若點(diǎn)P為拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，且∠DBP=45°，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法求出拋物線(xiàn)的解析式；
（2）將（m，m+1）代入拋物線(xiàn)，解出m的值，然后根據(jù)B與C的坐標(biāo)可知，CD⊥y軸，OB=OC，所以點(diǎn)E在y軸上，然后根據(jù)對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)即可求出E的坐標(biāo)．
（3）有兩種方法：法一作輔助線(xiàn)PF⊥AB于F，DE⊥BC于E，根據(jù)幾何關(guān)系，先求出tan∠PBF，再設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)幾何關(guān)系解出P點(diǎn)坐標(biāo)；法二過(guò)點(diǎn)D作BD的垂線(xiàn)交直線(xiàn)PB于點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥x軸于H．過(guò)Q點(diǎn)作QG⊥DH于G，由角的關(guān)系，得到△QDG≌△DBH，再求出直線(xiàn)BP的解析式，解出方程組從而解出P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵拋物線(xiàn)y=ax²+bx-4a經(jīng)過(guò)A（-1，0）、C（0，4）兩點(diǎn)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-b-4a=0}\\{-4a=4}\end{array}\right.$，
解之得：a=-1，b=3，
∴拋物線(xiàn)解析式為y=-x²+3x+4；

（2）如圖，∵點(diǎn)D（m，m+1）在第一象限的拋物線(xiàn)上，
∴把D的坐標(biāo)代入（1）中的解析式得：m+1=-m²+3m+4，
解得m=3或m=-1，
∵m＞0，
∴m=3，
∴D（3，4），
當(dāng)y=0時(shí)，-x²+3x+4=0，解得x₁=-1，x₂=4，
∴B（4，0），
∴OB=OC，
∴△OBC是等腰直角三角形，
∴∠CAO=∠OCB=45°，
設(shè)點(diǎn)D關(guān)于直線(xiàn)BC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)E，
∵C（0，4），
∴CD∥AB，且CD=3
∴∠ECB=∠DCB=45°
∴E點(diǎn)在y軸上，且CE=CD=3，
∴OE=1，
∴E（0，1）
即點(diǎn)D關(guān)于直線(xiàn)BC對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，1）；

（3）作PF⊥AB于F，DE⊥BC于E，
由（1）可知OB=OC=4
∴∠OBC=45°
∵∠DBP=45°
∴∠CBD=∠PBA
∵C（0，4），D（3，4）
∴CD∥OB且CD=3
∴∠DCE=∠CBO=45°
∴DE=CE=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∵OB=OC=4
∴BC=4 $\sqrt{2}$，
∴BE=BC-CE=$\frac{5}{2}$$\sqrt{2}$，
∴tan∠PBF=tan∠CBD=$\frac{DE}{BE}$=$\frac{3}{5}$，設(shè)PF=3t，則BF=5t，OF=5t-4
∴P（-5t+4，3t）
∵P點(diǎn)在拋物線(xiàn)上
∴3t=-（-5t+4）²+3（-5t+4）+4
∴t=0（舍去）或t=$\frac{22}{25}$，
∴P（-$\frac{2}{5}$，$\frac{66}{25}$）；

點(diǎn)評(píng) 此題考查二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)，待定系數(shù)求函數(shù)解析式、銳角三角函數(shù)、等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線(xiàn)，學(xué)會(huì)用分方程的思想思考問(wèn)題，屬于中考常考題型．