Question

17．如圖，在?ABCD中，點E、F分別是BC，AD上的點，且BE=DF，對角線AC⊥AB．
（1）求證：四邊形AECF是平行四邊形；
（2）①當E為BC的中點時，求證：四邊形AECF是菱形；
②若AB=6，BC=10，當BE長為3.6時，四邊形AECF是矩形．
③四邊形AECF有可能成為正方形嗎？答：沒有．（填“有”或“沒有”）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AD∥BC，AD=BC，等量代換得到AF=EC，于是得到結(jié)論；
（2）①根據(jù)垂直的定義得到∠BAC=90°，根據(jù)菱形的判定定理即可得到結(jié)論；②由四邊形AECF是矩形，得到∠AEC=90°，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（3）根據(jù)（2）的結(jié)論即可得到結(jié)果．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∵BE=DF，
∴AF=EC，
∴四邊形AECF是平行四邊形；

（2）解：①∵AC⊥AB，
∴∠BAC=90°，
∵E為BC的中點，
∴AE=CE，
∵四邊形AECF是平行四邊形，
∴四邊形AECF為菱形；

②∵四邊形AECF是矩形，
∴∠AEC=90°，
∴∠AEB=90°=∠BAC，
∵∠B=∠B，
∴△ABE∽△CBA，
∴$\frac{AB}{BC}$=$\frac{BE}{AB}$，
∴BE=$\frac{A{B}^{2}}{BC}$=$\frac{{6}^{2}}{10}$=3.6，
故答案為：3.6；

（3）沒有．

點評 本題考查了特殊四邊形的判定和性質(zhì)，熟練掌握特殊四邊形的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．