Question

2．如圖，已知等邊△AOB的頂點(diǎn)O與原點(diǎn)重合，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，2$\sqrt{3}$），點(diǎn)P（t，0）為x軸上一動(dòng)點(diǎn)（不與O重合）．連結(jié)AP，將AP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AQ，連結(jié)QB并延長交x軸于點(diǎn)C．過Q作x軸的垂線，垂足為D．
（1）直接寫出點(diǎn)B的坐標(biāo)，并求當(dāng)t=4時(shí)，BQ的長度．
（2）當(dāng)t＞0時(shí)，求△QCP的面積S與t的函數(shù)關(guān)系式．
（3）在直線QD上存在點(diǎn)M，使△BPM成為等腰直角三角形，請(qǐng)直接寫出所有符合條件的t的值．

Answer 1

分析 （1）證明△AOP≌△ABQ，即可得到BQ=OP=4；
（2）由△AOP≌△ABQ，得到△OCB是等腰三角形，進(jìn)而表示出OC、CP、CQ、QD的長度，求△QCP的面積S與t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）存在，分三種情況分類討論，列方程組求解即可．

解答 解：（1）由題意知，△AOB和△AQP都是等邊三角形，
∴AO=AB，AP=AQ，∠OAP=60°-∠PAB=∠BAQ，
∴△AOP≌△ABQ，
∴BQ=OP=4；
（2）∵△AOP≌△ABQ，
∴∠ABQ=90°，∠OBC=30°，
∵∠BOC=30°，
∴∠BCP=60°，
在等腰三角形OCB中，OB=2$\sqrt{3}$，
∴OC=BC=2，CQ=t+2，CP=t-2，
∴S_△CPQ=$\frac{1}{2}$•（t+2）•（t-2）•sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{4}$（t²-4），
∴①當(dāng)0＜t＜2時(shí)，S=$\frac{\sqrt{3}}{4}$（t²-4），
②當(dāng)t＞2時(shí)，S=$\frac{\sqrt{3}}{4}$（t²-4）；
（3）存在，t=$6+2\sqrt{3}$或$6-2\sqrt{3}$或$2\sqrt{3}$或$-2\sqrt{3}$，
在直線QD上存在點(diǎn)M，使△BPM成為等腰直角三角形，有三種可能：
①BP²+PM²=BM²且BP=PM
②BP²+BM²=PM²且BP=BM
③BM²+PM²=BP²且BM=PM
分別列方程組解得：t=$6+2\sqrt{3}$或$6-2\sqrt{3}$或$2\sqrt{3}$或$-2\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法解決幾何變換問題，主要考查了三角形全等的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，三角函數(shù)以及列方程（組）等知識(shí)的綜合運(yùn)用．