Question

3．如圖，已知拋物線y=-$\frac{1}{m}$（x+2）（x-m）（m＞0）與x軸相交于點A、B，與y軸相交于點C，且點A在點B的左側(cè)．
（1）若拋物線過點G（2，2），求實數(shù)m的值；
（2）在（1）的條件下，解答下列問題：
①求出△ABC的面積；
②在拋物線的對稱軸上找一點H，使AH+CH最小，并求出點H的坐標；
（3）在第四象限內(nèi)，拋物線上是否存在點M，使得以點A、B、M為頂點的三角形與△ACB相似？若存在，求m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）把C坐標代入拋物線解析式求出m的值即可；
（2）①對于拋物線解析式，令y=0求出x的值，確定出A與B坐標；令x=0，求出y的值，確定出C坐標，求出三角形ABC面積即可；
②如圖1，連接BC交對稱軸于點H，由對稱軸的性質(zhì)和兩點之間線段最短的性質(zhì)可得：此時AH+CH=BH+CH=BC最小，利用待定系數(shù)法求出直線BC解析式，與拋物線對稱軸聯(lián)立求出H坐標即可；
（3）在第四象限內(nèi)，拋物線上存在點M，使得以點A、B、M為頂點的三角形與△ACB相似，分兩種情況考慮：（i）當△ACB∽△ABM時；（ii）當△ACB∽△MBA時，利用相似三角形的判定與性質(zhì)，確定出m的值即可．

解答 解：（1）∵拋物線過G（2，2），
∴把G坐標代入拋物線解析式得：2=-$\frac{1}{m}$（2+2）（2-m），
解得：m=4；

（2）①令y=0，得到-$\frac{1}{m}$（x+2）（x-m）=0，
解得：x₁=-2，x₂=m，
∵m＞0，
∴A（-2，0），B（m，0），
把m=4代入得：B（4，0），
∴AB=6，
令x=0，得到y(tǒng)=2，即C（0，2），
∴OC=2，
則S△ABC=$\frac{1}{2}$×6×2=6；
②∵A（-2，0），B（4，0），
∴拋物線解析式為y=-$\frac{1}{4}$（x+2）（x-4）的對稱軸為x=1，
如圖1，連接BC交對稱軸于點H，由對稱軸的性質(zhì)和兩點之間線段最短的性質(zhì)可得：此時AH+CH=BH+CH=BC最小，
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，
把B與C坐標代入得：$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=0}\\{b=2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴直線BC解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+2，
令x=1，得到y(tǒng)=$\frac{3}{2}$，即H（1，$\frac{3}{2}$）；

（3）在第四象限內(nèi)，拋物線上存在點M，使得以點A、B、M為頂點的三角形與△ACB相似，
分兩種情況考慮：
（i）當△ACB∽△ABM時，則有$\frac{AC}{AB}$=$\frac{AB}{AM}$，即AB²=AC•AM，
∵A（-2，0），C（0，2），即OA=OC=2，
∴∠CAB=45°，∠BAM=45°，
如圖2，過M作MN⊥x軸，交x軸于點N，則AN=MN，
∴OA+ON=2+ON=MN，
設(shè)M（x，-x-2）（x＞0），
把M坐標代入拋物線解析式得：-x-2=-$\frac{1}{m}$（x+2）（x-m），
∵x＞0，∴x+2＞0，
∵m＞0，∴x=2m，即M（2m，-2m-2），
∴AM=$\sqrt{（2m+2）^{2}+（-2m-2）^{2}}$=2$\sqrt{2}$（m+1），
∵AB²=AC•AM，AC=2$\sqrt{2}$，AB=m+2，
∴（m+2）²=2$\sqrt{2}$•2$\sqrt{2}$（m+1），
解得：m=2±2$\sqrt{2}$，
∵m＞0，
∴m=2+2$\sqrt{2}$；
（ii）當△ACB∽△MBA時，則$\frac{AB}{MA}$=$\frac{CB}{BA}$，即AB²=CB•MA，
∵∠CBA=∠BAM，∠ANM=∠BOC=90°，
∴△ANM∽△BOC，
∴$\frac{NM}{AN}$=$\frac{OC}{BO}$，
∵OB=m，設(shè)ON=x，
∴$\frac{NM}{2+x}$=$\frac{2}{m}$，即MN=$\frac{2}{m}$（x+2），
令M（x，-$\frac{2}{m}$（x+2））（x＞0），
把M坐標代入拋物線解析式得：-$\frac{2}{m}$（x+2）=-$\frac{1}{m}$（x+2）（x-m），
∵x＞0，∴x+2＞0，
∵m＞0，∴x=m+2，即M（m+2，-$\frac{2}{m}$（m+4）），
∵AB²=CB•MA，CB=$\sqrt{{m}^{2}+4}$，AN=m+4，MN=$\frac{2}{m}$（m+4），
∴（m+2）2=$\sqrt{{m}^{2}+4}$•$\sqrt{（m+4）^{2}+\frac{4（m+4）^{2}}{{m}^{2}}}$，
整理得：$\frac{16}{m}$=0，顯然不成立，
綜上，在第四象限內(nèi)，當m=2$\sqrt{2}$+2時，拋物線上存在點M，使得以點A、B、M為頂點的三角形與△ACB相似．

點評 此題屬于二次函數(shù)綜合題，涉及的知識有：待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，坐標與圖形性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，以及兩點之間線段最短，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．