Question

14．如圖：CD是⊙O的直徑，線段AB過(guò)圓心O，且OA=OB=$\sqrt{5}$，CD=2，連接AC、AD、BD、BC、AD、CB分別交⊙O于E、F．
（1）問(wèn)四邊形CEDF是何種特殊四邊形？請(qǐng)證明你的結(jié)論；
（2）當(dāng)AC與⊙O相切時(shí)，四邊形CEDF是正方形嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）四邊形CEDF是矩形，理由是由CD是⊙O的直徑，得出∠CFD=∠CED=90°，證出平行四邊形ADBC，得出CB∥AD，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠EDF=90°，即可判斷出答案；
（2）在Rt△ACO中，OA=$\sqrt{5}$，OC=1，根據(jù)勾股定理求出AC，推出CD=AC=2，∠CDE=45°，進(jìn)一步推出DE=CE，即可推出答案．

解答 解：（1）四邊形CEDF是矩形．
證明：∵CD是⊙O的直徑，
∴∠CFD=∠CED=90°，
∵CD⊙O的直徑，
∴OC=OD，∵OA=OB，
∴四邊形ADBC是平行四邊形，
∴CB∥AD，
∴∠CFD+∠EDF=180°，
∴∠EDF=90°，
∴四邊形CEDF是矩形．

（2）解：四邊形CEDF是正方形．
理由：∵AC是⊙O的切線，CD是直徑，
∴∠ACD=90°，
在Rt△ACO中，OA=$\sqrt{5}$，OC=$\frac{1}{2}$CD=1，AC²+1²=5，
∴AC=2，
則CD=AC=2，∠CDE=45°，
∴DE=CE，
∴矩形CEDF是正方形．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了對(duì)勾股定理，平行四邊形的性質(zhì)和判定，矩形的判定，正方形的判定，切線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，綜合運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是證此題的關(guān)鍵，題型較好，難度適中．