Question

15．如圖，AB是半圓O的直徑，C是半圓圓周上一點(diǎn)，M是弧AC的中點(diǎn)，MN⊥AB于N，則有（　　）

• A． MN=$\frac{1}{2}$AC
• B． MN=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AC
• C． MN=$\frac{3}{5}$AC
• D． MN=$\frac{\sqrt{3}}{3}$AC

Answer 1

分析 連接OM、OC，交AC于D，根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系證得∠AOM=∠COM，進(jìn)而根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出OM⊥AC，AD=CD=$\frac{1}{2}$AC，求得∠A=∠OMN，根據(jù)余弦函數(shù)得出$\frac{AD}{OA}$=$\frac{MN}{OM}$，進(jìn)而等量代換即可證得MN=$\frac{1}{2}$AC．

解答 解：連接OM、OC，交AC于D，
∵M(jìn)是弧AC的中點(diǎn)，
∴∠AOM=∠COM，
∵OA=OC，
∴OM⊥AC，AD=CD=$\frac{1}{2}$AC，
∴∠A+∠AOM=90°，
∵M(jìn)N⊥AB，
∴∠OMN+∠AOM=90°，
∴∠A=∠OMN，
∴cos∠A=cos∠OMN，
∴$\frac{AD}{OA}$=$\frac{MN}{OM}$，
∵OA=OM，AD=$\frac{1}{2}$AC，
∴$\frac{\frac{1}{2}AC}{OA}$=$\frac{MN}{OA}$，
∴MN=$\frac{1}{2}$AC．
故選A．

點(diǎn)評 本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角函數(shù)等，作出輔助線構(gòu)建直角三角形是解題的關(guān)鍵．