Question

6．如圖，A、B為反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（x＞0）圖象上的兩點，A、B兩點坐標分別為（m，5-m）、（n，5-n）（m＜n），連接AB并延長交x軸于點C．
（1）求m+n的值；
（2）若B為AC的中點，求k的值；
（3）過B點作OA的平行線交x軸于（x₀，0），若m為整數(shù)，求x₀值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)反比例系數(shù)k的幾何意義得出k=m（5-m）=n（5-n），整理得5（m-n）=（m-n）（m+n），即可求得m+n=5；
（2）根據(jù)題意得出5-m=2（5-n），從而求得m=2n-5，得出A（2n-5，10-2n），根據(jù)反比例系數(shù)k的幾何意義得出k=（2n-5）（10-2n）=n（5-n），整理得，3n²-25n+50=0，解方程即可求得n的值，得出B的坐標，即可求得k的值；
（3）根據(jù)三角形相似的性質得出方程，解方程求得即可．

解答 解：（1）∵A、B兩點坐標分別為（m，5-m）、（n，5-n）（m＜n），
∴k=m（5-m）=n（5-n），
∴5m-m²=5n-n²，
∴5（m-n）=（m-n）（m+n），
∴m+n=5；

（2）∵B為AC的中點，
∴5-m=2（5-n），
∴m=2n-5，
∴A（2n-5，10-2n），
∴k=（2n-5）（10-2n）=n（5-n），
整理得，3n²-25n+50=0，
解得n₁=$\frac{10}{3}$，n₂=5（舍去），
∴B（$\frac{10}{3}$，$\frac{5}{3}$），
∴k=$\frac{10}{3}$×$\frac{5}{3}$=$\frac{50}{9}$；

（3）由m＜n和（1）的結論，可知：0＜m＜$\frac{5}{2}$，
又因為m為整數(shù)，所以m=1或m=2，
當m=1時，則n=4，
∴A（1，4），B（4，1），
∵BD∥OA，
∴∠AOE=∠BDF，
作AE⊥OC于E，作BF⊥OC于F，
∴△AOE∽△BDF，
∴$\frac{1}{4-{x}_{0}}$=$\frac{4}{1}$，
解得x₀=$\frac{15}{4}$；
當m=2時，則n=3，
∴A（2，3），B（3，2），
∵△AOE∽△BDF，
∴$\frac{2}{3-{x}_{0}}$=$\frac{3}{2}$，
解得x₀=$\frac{5}{3}$．

點評 本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，三角形相似的判定和性質，反比例相似k的幾何意義上解題的關鍵．